整式の割り算と恒等式

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整式の割り算について成り立つ等式$\bm{A=BQ+R}$が恒等式である}}ことを利用する. とにかく整式の割り算の問題は等式A=BQ+Rを作成するのが原則である. \\[.2zh] \bm{割る式Qが2次式であるとき,\ 余りRは1次以下の式となる}からR=cx+dと設定できる. \\[.2zh] 等式さえ作成してしまえば,\ \bm{恒等式の未定係数の決定問題に帰着する.} \\[1zh] 本問は割られる式と割る式が与えられているので,\ 実際に割り算することができる(別解). \\[.2zh] 整式の割り算の問題では,\ この単純な解法が有効なことが意外に多い. \phantom{ (1)}\ \ これが$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b,\ c$の値を定めればよい. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 両辺の係数を比較すると   \betu\ \ $f(x)$を$(x+1)^2,\ (x-1)^2$で割ったときの商をそれぞれ$ax+b,\ ax+c$とする. \phantom{ (1)}\ \ これが$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b,\ c$の値を定める. \\[1zh] 2つの条件について,\ それぞれ等式を作成する. \\[.2zh] f(x)は3次式なので,\ 2次式(x+1)^2,\ (x-1)^2\,で割ったときの商は1次式となる. \\[.2zh] f(x)=ax^3+\cdots\,とすると,\ (x+1)^2,\ (x-1)^2\,で割ったときの商のxの係数はどちらもaである. \\[.2zh] よって,\ 商をax+b,\ ax+cとおける.\ ax+b,\ cx+dとしてもよいが係数比較で結局a=cとなる. \\[.2zh] 当然f(x)は同じ式であるから,\ \maru1と\maru2が一致するようにすればよい. \\[1zh] 別解は\bm{数値代入法}によるものである. \\[.2zh] 3文字を特定するには式が3つ必要なので,\ 式が簡単になるx=1,\ -\,1,\ 0を代入する. \\[.2zh] 3つの値に対して成り立つというだけでは必要条件に過ぎない. \\[.2zh] そのときのf(x)を実際に計算し,\ 両辺が一致するかを確認する(\bm{十分条件の確認}).
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