n変数の相加平均と相乗平均の関係の証明(特殊な数学的帰納法)

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本項目は数B:数列の数学的帰納法を学習済みであることを前提としています。

また、上級者用ですので基本的にはスルーしてかまいません。

$(相加平均)\geqq(相乗平均)\ は,\ n変数においても成立する.$ \  高校数学の範囲でも証明方法は複数あるが,\ ここでは数学的帰納法を用いた証明を示す. \\[.2zh]  ただし,\ 数Bで学習する普通の数学的帰納法とは少し異なる運用の仕方となる. \\\\ \,特殊な数学的帰納法\,      $よって,\ n=2kのときも成り立つ.$ ここまでが証明の前半部分であり,\ \bm{n=kが成り立つときn=2kが成り立つ}ことが示された. \\[.2zh] n=2が成り立てばn=4も成り立つ,\ n=4が成り立てばn=8も成り立つということである. \\[.2zh] つまり,\ n=2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ \cdots\cdots\ のときに成り立つことが示されたことになる. \\[1zh] 解答は抽象的でわかりづらいので,\ n=4とn=8の具体例を示す.\ 以下を一般化すればよ 平行して等号成立条件も証明できる.\ n=2のときの等号成立条件はa_1=a_2\,である. \\[.2zh] n=kのときの等号成立条件がa_1=a_2=\cdots=a_k\,であると仮定する. \\[.2zh] n=2kのときの等号成立条件は,\ 3ヶ所で相加相乗を利用していることを考慮すると \\[.2zh] 両辺をk乗}して{両辺をk-1乗根}して すべての自然数nについて成立する n=2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \cdots\ は既に示されているので,\ 後は間のn=3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10,\ \cdots\ を示せばよい. \\[.2zh] そのため,\ \bm{n=kが成り立つときn=k-1も成り立つことを証明する.} \\[.2zh] n=8が成り立てばn=7も成り立ち,\ するとn=6も,\ さらにn=5も成り立つことになる. \\[1zh] 具体例としてn=8を利用するn=7の証明を示す.\ これを一般化すると上の解答になる. \  両辺を8乗すると  両辺を7乗根すると 等号成立条件は .
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