n変数の相加平均と相乗平均の関係の証明(特殊な数学的帰納法)

本項目は数B数列の数学的帰納法を学習済みであることを前提としています。

また、高難度なので上級者向けです。

arithmetic-geometric-induction
(相加平均)(相乗平均)\ は,\ n変数においても成立する.$ 特殊な数学的帰納法]n=2^m\ (m:自然数)} 先に,\ {すべての\ n=2^m\ のときに成立することを数学的帰納法で証明}する. つまり,\ n=2,\ 4,\ 8,\ 16,のときに成立することを示す. 2の累乗の場合は,\ {n=4\ の場合を示す方法を真似ると容易に示せる}からである. 例として,\ n=8\ の場合を示しておく.\ これを一般化したものが上の解答である. {すべての自然数nについて成立する.}$} n=2,\ 4,\ 8,\ 16,の場合はすでに示されている. 後は,\ その間のn=3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10,の場合を示す. 先に,\ n=6の場合を例として示す.\ これを一般化したものが上の解答である. 両辺を8乗すると 両辺を6乗根すると 8よりも2小さいn=6の場合と同様にして,\ {2^mよりk小さい場合}を示せばよい. n=2^mの式で,\ a_{n+1}からa_{2^m}まで(k個)をすべて\ {a₁+a₂++a_n}{n}\ に置換する. 後は,\ 両辺を2^m乗\ →\ 両辺を({a₁+a₂++a_n}{n})^k\ で割る\ →\ 両辺をn乗根 \ すべてのn=2^mの場合が示され,\ さらにすべての\ n=2^m-k\ の場合が示された. つまり,\ n=4を基点にn=3を,\ n=8を基点にn=5,\ 6,\ 7を示したことになる. 文字により一般化されているから,\ これですべての自然数nについて示された.
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