大小比較、無理数の有理数による近似

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a\geqq\ruizyoukon2\ を満たすとき,\ \bunsuu{a+2}{a+1},\ \ \bunsuu a2+\bunsuu1a,\ \ \ruizyoukon2\ \ の大小を不等号を用いて表せ.$ \\ {大小比較 最小限の計算量・記述量で答えるには,\ 最初に\bm{大小関係を予想する}ことが重要である. \\[.2zh] a\geqq\ruizyoukon2\,より試しにa=2を代入してみると 予想}できる. \\[.8zh] 予想ができていれば,\ 2回の大小比較で済む.\ \ \bunsuu a2+\bunsuu1a\,と\ \bunsuu{a+2}{a+1}\,の大小を比較する必要はない. \\\\ 本問は基本通り\bm{差を計算する}と大小比較できるのだが,\ 因数分解できることに気付きにくい. \\[.2zh] その場合,\ 根号を含む不等式の基本である\bm{2乗の差を計算する}とよい. \\[.2zh] 最終的には\bm{等号が成立するか否か(>か\geqq\,か)}の判断も要るが,\ 因数分解によりこれもわかる. \\[.2zh] a\geqq\ruizyoukon2\,のとき\,\ruizyoukon2-1>0,\ a+1>0,\ \bm{a-\ruizyoukon2\geqq0}より,\ a=\ruizyoukon2\,のとき等号が成立する. \\[1zh] \bunsuu a2+\bunsuu1a\,は,\ \bm{\bunsuu a2\,と\,\bunsuu1a\,の積が定数になる}のであからさまに相加相乗を匂わせる(別解). \\[.8zh] 等号成立条件を確認すると,a$を正の有理数とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}$(1)\ \ \ruizyoukon2\ はaと\ \bunsuu{a+2}{a+1}\ との間にあることを示せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ \bunsuu{a+2}{a+1}\ の方がaより\ruizyoukon2\ に近いことを示せ.{無理数の有理数による近似{Aがp,\ qの間にあるための条件 \ruizyoukon2\ がaと\ \bunsuu{a+2}{a+1}\ の間にあるとき,\ \bm{a-\ruizyoukon2\ と\ \bunsuu{a+2}{a+1}-\ruizyoukon2\ は異符号になる}はずである. \\[.8zh] \bm{「一方が正で他方が負」という条件は,\ 「積が負」と言い換えると簡潔に表現できる.} \\[1zh] a-\ruizyoukon2\,と\,\bunsuu{a+2}{a+1}-\ruizyoukon2\,の積を計算して負になることを示せばよいわけだが,\ 展開する必要はない. なお,\ aは有理数なのでa\neqq\ruizyoukon2\,であり,\ (a-\ruizyoukon2\,)^2=0\,となることはない. \\[1zh] (2)は\,\ruizyoukon2\,との距離を考えることになるから,\ \bm{絶対値を利用}する. \\[.2zh] 題意を数式で表すと\ \bm{\zettaiti{\bunsuu{a+2}{a+1}-\ruizyoukon2\,}<\zettaiti{a-\ruizyoukon2\,}}\ であり,\ これを示すのが目標になる. \\[1zh] (1)と同様にして\,\bunsuu{a+2}{a+1}-\ruizyoukon2\,を計算すると,\ a-\ruizyoukon2\,が現れる. 結局,\ \bm{\zettaiti{\bunsuu{a+2}{a+1}-\ruizyoukon2\,}\ は\ \zettaiti{a-\ruizyoukon2\,}\ を\ \bunsuu{\ruizyoukon2-1}{a+1}\ 倍したもの}であるとわかる. \\[.8zh] 後は\ を示せば,\ 目標の不等式が示されたことになる. \\[1.5zh] 本問は,\ \bm{\ruizyoukon2\ を有理数で近似する}ことを背景としている.\ \ruizyoukon2\,の近似値を知らないという前提である. さらに(2)より,\ aよりも\,\bunsuu{a+2}{a+1}\,が\,\ruizyoukon2\,に近い.\ よって,\ \bunsuu32\,が1よりも\,\ruizyoukon2\,に近いはずである. \\[.8zh] 次はa=\bunsuu32\,として\,\bunsuu{a+2}{a+1}\,に代入すると,\ \bunsuu{7}{5}\,を得る.\ これは\,\bunsuu32\,よりも\,\ruizyoukon2\,に近いはずである. \\[.8zh] このように,\ \bm{求まった\,\bunsuu{a+2}{a+1}\,の値を新たなaとして\,\bunsuu{a+2}{a+1}\,に代入することを繰り返す.} \\[.8zh] すると,\ \bm{近似精度が限りなく高まっていく}わけである. \\[.2zh] ちなみに,\ 20回繰り返して得られる\,\bunsuu{22619537}{15994428}\,は,\ \ruizyoukon2\,と小数第14位まで一致する.
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