コーシー・シュワルツの不等式を利用する証明問題と最大・最小問題

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前項では,\ 以下のコーシー・シュワルツの不等式の証明を示した. \\[1zh]   [1]\ \ $\bm{\textcolor{red}{(a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq(ax+by)^2}}$  等号成立条件\ $\bm{\textcolor{red}{a:b=x:y}}$ \\[1zh]   [2]\ \ $\bm{\textcolor{red}{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2}}$ \\[.5zh]      等号成立条件\ $\bm{\textcolor{red}{a:b:c=x:y:z}}$ \\\\  本項では,\ このコーシー・シュワルツの不等式が役立つ問題を紹介する. \\[.2zh]  \textbf{\textcolor{purple}{相加平均と相乗平均の関係と同様に,\ 主に不等式の証明や最大・最小問題で役立つ.}} \\[.2zh]  ただし,\ 相加相乗とは異なり,\ 記述試験で無断使用してよいかは微妙である. \\\\\\ a,\ b,\ c$を実数とするとき,\ 次の不等式が成り立つことを示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $3(a^2+b^2+c^2)\geqq(a+b+c)^2$   (1)\ \ コーシー・シュワルツの不等式より \$3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2$ \\[.2zh]     $=3a^2+3b^2+3c^2-(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)$ \\[.2zh]     $=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)$ \\[.2zh]     $=\textcolor{red}{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqq0}$ \\[1zh] \centerline{$\therefore\ \ \bm{3(a^2+b^2+c^2)\geqq(a+b+c)^2}$} \\\\\\ \phantom{ (1)}\ \ よって $(a^2+b^2+c^2)^2\geqq(ab+bc+ca)^2$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $a^2+b^2+c^2\geqq0$より $a^2+b^2+c^2\geqq\zettaiti{ab+bc+ca}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ ここで $\zettaiti{ab+bc+ca}\geqq ab+bc+ca$ \\[1zh] \centerline{$\therefore\ \ \bm{a^2+b^2+c^2\geqq ab+bc+ca}$} \\\\[.5zh]  \betu\ \ $(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)$ \\[.5zh]     $=\bunsuu12\{(2a^2+2b^2+2c^2)-(2ab+2bc+2ca)\}$ \\[.5zh]     $=\bunsuu12\{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\}$ \\[.5zh]     $=\textcolor{red}{\bunsuu12\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}\geqq0}$ \\[1zh] \centerline{$\therefore\ \ \bm{a^2+b^2+c^2\geqq ab+bc+ca}$} \\\\[.5zh] コーシー・シュワルツの不等式(以下\text{CS}不等式)の本質は,\ よって,\ \bm{式中に2乗の和や内積\,\bekutoru*a\cdot\bekutoru*b\,とみなせる部分があることが\textbf{CS}不等式利用の目安}になる. \\[1zh] (1)\ \ これまでにも別項で繰り返し扱ってきた有名不等式である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{a+b+cを\,\bekutoru*a=(a,\ b,\ c)と\bekutoru*b=(1,\ 1,\ 1)の内積}とみなせば,\ \text{CS}不等式そのものである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 等号成立条件は\bm{a:b:c=1:1:1},\ つまり\bm{a=b=c}である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 和はすべて内積とみなせるが,\ 何と何の内積とみなすべきかは一定の経験が必要だろう. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \text{CS}不等式の利用以外でも,\ 和を内積とみなすことが効果的である場面は思いの外多い. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ 直線の式2x+3y=0は,\ \bekutoru*a=(2,\ 3),\ \bekutoru*b=(x,\ y)とすると,\ \bekutoru*a\cdot\bekutoru*b=0と表せる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ベクトルを学習すると,\ この視点がいかに重要であるかを理解できる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 内積を知らなくても\text{CS}不等式を適用できるが,\ 記述試験で無断使用するのは少し怖い. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 内積の認識があれば,\ 以下のように記述して\text{CS}不等式の無断使用というリスクを避けられる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \text{CS}不等式は,\ 以下のように差を計算して証明することができた. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2=(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2\geqq0 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ \text{CS}不等式を利用して証明できるならば,\ 差を計算して証明することもできる(別解). \\[1zh] (2)\ \ 別解からわかるように,\ (1)と本質的に同じ問題である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\bekutoru*a=(a,\ b,\ c),\ \bekutoru*b=(b,\ c,\ a)}として\text{CS}不等式を適用すると導かれる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2乗をはずすとき,\ X\geqq0,\ Y\geqq0のとき\ X^2\geqq Y^2\ \Longleftrightarrow\ X\geqq Y\ に注意が必要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ X\geqq0,\ Y\geqq0の保証がない場合,\ \bm{X^2\geqq Y^2\ \Longleftrightarrow\ \zettaiti X\geqq\zettaiti Y}\ となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{常に\,\zettaiti A\geqq A}であることも利用すると証明できる(Aが何であれ\,\zettaiti A0であるから,\ 両辺に掛けたり割ったりしても不等号の向きが変わらない. \\[.2zh] 「x,\ y,\ zは正数」という条件があるので,\ \ruizyoukon x,\ \ruizyoukon y,\ \ruizyoukon z\,としてよいわけである. \\[1zh] 等号成立条件は$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ zは正数とする.$ $a+b+c=1のとき,\ \ruizyoukon{ax+by+cz}\geqq a\ruizyoukon x+b\ruizyoukon y+c\ruizyoukon z$が成り立つことを示せ.  コーシー・シュワルツの不等式より \bm{\ruizyoukon{和}\geqq\ruizyoukon{ }の和}\ を考えるときにも\text{CS}不等式が有効であることが多く,\ 適用の1つの目安である. として\text{CS}不等式を適用する. \\[.2zh] その後,\ \bm{X\geqq0,\ Y\geqq0のとき\ X^2\geqq Y^2\ \Longleftrightarrow\ X\geqq Y}\ を利用する. \\[1zh] 等号成立条件は{x=y=z} \\[1zh] 特にa=b=c=\bunsuu13\,とすると \ruizyoukon{3(x+y+z)}\geqq\ruizyoukon x+\ruizyoukon y+\ruizyoukon z \\[.8zh] さらに\,\ruizyoukon x=X,\ \ruizyoukon y=Y,\ \ruizyoukon z=Z\,とおいて両辺を3で割ると \ruizyoukon{\bunsuu{X^2+Y^2+Z^2}{3}}\geqq\bunsuu{X+Y+Z}{3} \\[.8zh] これは,\ 3変数の\ (2乗平均)\geqq(相加平均)\ である. \\[1zh] 根号を含む不等式であるから,\ 両辺の2乗の差を計算して証明することもできる(別解). \\[.2zh] ここで,\ 等式条件つきの不等式の証明では,\ \bm{同次化}の考え方が有効なのであった. \\[.2zh] (\ruizyoukon{ax+by+cz}\,)^2=ax+\cdots\,は2次式,\ (a\ruizyoukon x+b\ruizyoukon y+c\ruizyoukon z\,)^2=a^2x+\cdots\,は3次式である. \\[.2zh] \bm{2次式(\ruizyoukon{ax+by+cz}\,)^2\,に1次式a+b+c=1をかけることで,\ すべての項が3次になる.} \\[.2zh] すると,\ 対称性を生かして平方完成することができる. \\[.2zh] $x,\ y,\ zは実数,\ x+2y+3z=1\ のとき,\ x^2+y^2+z^2\ の最小値を求めよ.$ \\ \bm{1乗の和が一定のもとで2乗の和の最小値を求める}ときは\text{CS}不等式の出番である. \\[.2zh] \bm{\bekutoru*a=(x,\ y,\ z),\ \bekutoru*b=(1,\ 2,\ 3)}\ として\text{CS}不等式を適用する. \\[1zh] x^2+y^2+z^2\geqq\bunsuu{1}{14}\,となるが,\ 直ちに最小値\,\bunsuu{1}{14}\,と答えてはならない. \\[.8zh] 「\bunsuu{1}{14}\,以上」は「最小値\,\bunsuu{1}{14}」をも意味するわけではないからである. \\[.8zh] 仮に最小値2であったとしても,\ それは「\bunsuu{1}{14}\,以上」である. \\[.8zh] \bm{「\bunsuu{1}{14}\,以上\ かつ\ =\bunsuu{1}{14}\,になりうる実数x,\ y,\ zが存在する」}で初めて「最小値\,\bunsuu{1}{14}」とできる. \\[.8zh] 最大・最小問題で\text{CS}不等式を利用するとき,\ \bm{等号成立条件の確認が必須}なのである. \\[1zh] x:y:z=1:2:3よりx=k,\ y=2k,\ z=3kとおけ,\ k+4k+9k=1より\ \ k=\bunsuu{1}{14} x,\ y,\ zは実数,\ x^2+2y^2+4z^2=1\ のとき,\ x+2y+3z\ の最大値と最小値を求めよ \bm{2乗の和が一定のもとで1乗の和の最大・最小を求める}ときも\text{CS}不等式の出番である. 少し難しいが,\ まずx^2+2y^2+4z^2=1を\bm{x^2+(\ruizyoukon2y)^2+(2z)^2=1}とみなして\,\bekutoru*a\,が決まる. \\[.2zh] \bekutoru*a\,との内積がx+2y+3zになるように,\ つまり\bm{積が(x,\ 2y,\ 3z)}になるように\,\bekutoru*b\,を定めればよい.
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