コーシー・シュワルツの不等式の証明

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cauchy-schwarz
差を計算すると,\ うまく2乗の形に因数分解される. は容易に因数分解できても,\ は難しいと思うかもしれない. がの拡張であることを意識することが重要である. 拡張された不等式では,\ {拡張前の不等式の証明を参考にする}とよい. の\ (ay-bx)²\ を作り出すことを念頭において変形することになる. {拡張は,\ 誘導がない問題ほど重要で,\ 極めて応用性の高い根幹的な発想である.} 例えば,\ がなくていきなりが出題されたとする. このとき,\ {自分で}より単純化した場合を考えてヒントを得る}わけである. 等号成立条件はすぐわかる.\ ただし,\ よく見る別表現は注意が必要である. のay=bxを\ { ax= by}\ や\ {a:b=x:y}\ と表している解答も多い. 分数や比の形はわかりやすいが,\ {0でないことが前提}になる. 当然,\ 分母が0になっていいはずはないし,\ 比も0を含むと意味をもたなくなる. 特別な必要性がない限り,\ 本解のように答えておけばよい. 0でないとすると,\ は,\ { ax= by= cz}\ または\ {a:b:c=x:y:z}\ と表せる. コーシー・シュワルツの不等式は,\ {ベクトルでとらえる}のが本質的である. 等号成立は,\ cosθ=1\ のとき,\ つまり\ a∥b\ のときである.  コーシー・シュワルツの不等式は,\ n項の場合に一般化$できる. 任意の実数tに対して} 証明方法は独特であるので,\ 暗記を要する. {(a₁t-b₁)²+(a₂t-b₂)²++(a_nt-b_n)²\ という式を考える.} この式は2乗の和であるから,\ tが何であれ0以上である. tで整理すると,\ tについての2次式となる. 当然,\ この{tの2次式も常に0以上になるはず}である. t²の係数が0のとき,\ 1次式となるから場合分けして考える. t²の係数が0でないとき,\ {2次関数が常に0以上である条件}に帰着する. tの2次関数が常にt軸上かそれより上にあればよく,\ その条件は\ {D0}\ である. 等号成立条件は,\ 一番最初の不等式から導かれる. しかし,\ tが残っているのが気になるし,\ 本質がわかりにくい. そこで,\ 次のように考える. {「a_k=0\ のとき\ b_k=0」と特別に定めることで,\ 分数で表現できる}のである. 0は0に対応すると定めると,\ a₁:a₂::a_n=b₁:b₂::b_n\ とも表せる.
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