次の不等式を証明せよ.\ また,\ 等号成立条件を示せ.
(1)\ \ $(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2$
(2)\ \ $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2$コーシー・シュワルツの不等式の証明(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2}${(ay-bx)^2≧0}${(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2}$}
また,\ $等号が成立するのは\ ay=bx}\ のときである.(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2}${(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2≧0}$ 等号が成立するのは\ ay=bx\ かつ\ bz=cy\ かつ\ cx=az}\ のときである. $(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2$ \\} $(b^2+c^2)(y^2+z^2)≧(by+cz)^2$ $(c^2+a^2)(z^2+x^2)≧(cz+ax)^2$ 3式の辺々を足す}と \\
(1)\ \ 差を計算して2乗の形に因数分解する}だけで容易に証明できる.
\ \ 等号成立条件も同時に求まるが,\ その扱い方に注意が必要になる.
\ \ ay=bxは,\ a:b=x:y}\ と表すこともできる.
\ \ また,\ x=0のときa=0,\ y=0のときb=0と決めると\, ax= by}\ と表すこともできる.
(2)\ \ (1)を拡張した不等式なので,\ (1)にならって(ay-bx)^2\,を作ることを念頭に変形する.
\ \ 等号成立条件は\ a:b=x:y\ かつ\ b:c=y:z\ かつ\ c:a=z:x つまり\ a:b:c=x:y:z}
\ \ x=0,\ y=0,\ z=0のときそれぞれa=0,\ b=0,\ c=0と決めると ax= by= cz}
\ \ 別解は,\ 文字を循環させた3式を足し合わせる}ものである.
\ \ 最終形を見越し,\ 展開後は両辺からa^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\,を除いてから因数分解する.
さて,\ コーシー・シュワルツの不等式はベクトルの内積(数bf B)との関係が重要}である.
内積の定義\
コーシー・シュワルツの不等式は,\ $n項の場合にまで一般化$できる. \{a_k=0\ のときは\ b_k=0\ と定める.${すべての実数tに対して}${(a_1t-b_1)^2+(a_2t-b_2)^2+･･･+(a_nt-b_n)^2≧0}$ \{{a_1}^2+{a_2}^2+･･･+{a_n}^2=0}\ のとき a_1=a_2=･･･=a_n=0\ より,\ \maru{ A}は成立する.$
全ての実数$t$に対して\maru{ B}が成り立つための条件は,\ $(左辺)=0$の判別式を$D$として
n項の場合にはこのような驚くべき証明が知られている.\ 考えて思いつくものではないので暗記する.
高校は3次元までなので,\ n次元ベクトルを\,→a}^2→b}^2≧(→a･→b)^2\ に代入するのは推奨しない.
f(t)=(a_1t-b_1)^2+(a_2t-b_2)^2+･･･+(a_nt-b_n)^2}\ という式を考える.
この式は2乗の和なので,\ tの値によらず常に0以上}になる.
また,\ f(t)をtで整理し直した式をg(t)とする.\ f(t)=g(t)より,\ 当然g(t)≧0である.
t^2\,の係数\,{a_1}^2+{a_2}^2+･･･+{a_n}^2=0のとき,\ g(t)がtの2次式にならないので場合分けする.
a_1=a_2=･･･=a_n=0のとき,\ 両辺が0となるから\maru{ A}は成り立つ.
t^2\,の係数が0でないときを考える.
{a_1}^2+･･･+{a_n}^2<0となることはないから,\ {a_1}^2+･･･+{a_n}^2>0のときということになる.
このとき,\ g(t)は下に凸の2次関数となる.
tの値によらずg(t)≧0より,\ D≦0が成り立つ}はずである.
常にg(t)≧0は,\ 図形的には2次関数y=g(t)がt軸と接するかt軸より上にあることを意味する.
このときg(t)=0の実数解は1個または0個であるから,\ D≦0が成り立つわけである.
既に述べた通り,\ {a_1}^2+{a_2}^2+･･･+{a_n}^2=0のとき,\ 両辺が0となるから等号が成立する.
一方,\ {a_1}^2+{a_2}^2+･･･+{a_n}^2=0のときの等号成立条件はD=0}である.
このとき,\ g(t)=0となる実数tが存在する.}\ 図形的には,\ 2次関数y=g(t)がt軸と接する.
つまり,\ f(t)=0となる実数tが存在する}ということである.
よって,\ 等号成立条件は\ a_1t-b_1=a_2t-b_2=･･･=a_nt-b_n=0\ となる.
tが残っていて扱いづらいので,\ tを消去する.\ まず,\ a_1,\ a_2,\ ･･･,\ a_n\,がすべて0でないとする.
a_1t-b_1=0,\ a_2t-b_2=0,\ ･･･,\ a_nt-b_n=0\ からtを消去して b_1}{a_1}=b_2}{a_2}=･･･=b_n}{a_n=t
a_k=0\ のとき,\ a_kt-b_k=0よりb_k=0である.
比で表すと,\ a_1:a_2:･･･:a_n=b_1:b_2:･･･:b_n}\ となる.
