三角不等式 ||x|-|y||≦|x+y|≦|x|+|y| の証明とその応用

スポンサーリンク
x,\ y,\ z$を実数とするとき,\ 次の不等式を証明せよ. 三角不等式の証明とその応用xをx+y,\ yを-yに置き換える}と yをy+zに置き換える}と を\bm{三角不等式}という. \\[.2zh] これは,\ 三角形の成立条件と関連している. \\[.2zh] 以下で簡単に説明しておくが,\ 数\text{B}:ベクトルの知識を要する. \\[1zh] 右図より,\ 三角形の成立条件をベクトルで表すと \\[.2zh] ベクトルを実数に置き換え,\ 等号を加えたのが三角不等式というわけである. \\ 三角不等式の証明や等号成立条件を考えるとき,\ \bm{絶対値の様々な性質を利用する}ので先に確認する. \\[.5zh] 辺々を足した後, (数\text Iで学習済)を利用する. \\[1zh] (2)\ \ (1)の不等式で\,\bm{x\ →\ x+y,\ \ y\ →\ -y\ と置き換える}と簡潔に済む. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\zettaiti{-\,y}=\zettaiti y}\ であることにも注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (1)の等号成立条件がxy\geqq0であるから,\ (2)の等号成立条件は\bm{(x+y)(-\,y)\geqq0}となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bm{(x+y)y\leqq0}である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\zettaiti x-\zettaiti y\geqq0とは限らない}ので,\ 単純に2乗の差を計算して示すことはできない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ といっても,\ <0の場合を分けてしまえば,\ 後は\geqq0の場合を2乗の差の計算で済ませられる. \\[.2zh] (3)\ \ \bm{(1)を2回利用}すればよい.\ 同様にしていくと,\ \bm{n文字の場合を示すこともできる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 等号成立条件は,\ \bm{1回目がx(y+z)\geqq0,\ 2回目がyz\geqq0}\ である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ x(y+z)\geqq0\ かつ\ \ yz\geqq0 \ (1)\ \ (2)のための誘導であり,\ 単純に差を計算すれば済む. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 等号成立条件はx-y=0,\ つまり\bm{x=y}である. \\[1zh] (2)\ \ \bm{三角不等式\ \zettaiti x+\zettaiti y\geqq\zettaiti{x+y}\ の利用を必要とする有名問題}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 以前取り上げた\ \bunsuu{x}{1+x}+\bunsuu{y}{1+y}\geqq\bunsuu{x+y}{1+x+y}\ の発展問題であり,\ 解法もほぼ同じである. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 三角不等式は応用問題では無断使用してよいと思うが,\ 証明してから利用するのが安全である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 三角不等式により,\ まず\bm{(1)のxを\,\zettaiti x+\zettaiti y,\ yを\,\zettaiti{x+y}\,に置き換える}ことができる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分子が等しい分数は,\ 分母が大きい方が全体として小さくなるというわけである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 不等式\maru1は(1)を利用しているから,\ 等号成立条件は\,\zettaiti x+\zettaiti y=\zettaiti{x+y}\,となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これは,\ xy\geqq0となるのであった.\ また,\ 不等式\maru2の等号成立条件はxy=0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ (2)の不等式の等号成立条件は\ \bm{xy\geqq0\ かつ\ xy=0},\ つまり\bm{xy=0}である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ (1)の誘導がなければ差を計算してゴリ押しすることになる(別解). \ \phantom{(1)}\ \ \bm{三角不等式および常に\,\zettaiti{xy}(2+\zettaiti{x+y})\geqq0}であることから,\ \geqq0が示される. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 常に2+\zettaiti{x+y}>0より,\ \bm{\zettaiti x+\zettaiti y=\zettaiti{x+y}\ かつ\ xy=0}\ のとき等号が成立する. \\[1zh] (3)\ \ まず,\ \bm{(2)の両辺に\,\bunsuu{\zettaiti z}{1+\zettaiti z}\,を足す.} \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 当然,\ この場合の等号成立条件は(2)と同じくxy=0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ (2)の不等式において\ \bm{x\ →\ x+y,\ y\ →\ z}\ とすれば示される. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この場合の等号成立条件は(x+y)z=0となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{xy=0\ かつ\ (x+y)z=0},\ つまり\bm{x,\ y,\ zのうち少なくとも2つが0}のとき等号成立. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ xy=0\ かつ\ (x+y)z=0 y=z=0
タイトルとURLをコピーしました