三角不等式 ||x|-|y||≦|x+y|≦|x|+|y| の証明とその応用

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x,\ y,\ z$を実数とするとき,\ 次の不等式を証明せよ. 三角不等式の証明とその応用xをx+y,\ yを-yに置き換える}と yをy+zに置き換える}と を三角不等式}という. これは,\ 三角形の成立条件と関連している. 以下で簡単に説明しておくが,\ 数B}:ベクトルの知識を要する. 右図より,\ 三角形の成立条件をベクトルで表すと ベクトルを実数に置き換え,\ 等号を加えたのが三角不等式というわけである. \\ 三角不等式の証明や等号成立条件を考えるとき,\ 絶対値の様々な性質を利用する}ので先に確認する. 辺々を足した後, (数 Iで学習済)を利用する. (2)\ \ (1)の不等式で\,x\ →\ x+y,\ \ y\ →\ -y\ と置き換える}と簡潔に済む. \ \ -\,y}= y}\ であることにも注意する. \ \ (1)の等号成立条件がxy≧0であるから,\ (2)の等号成立条件は(x+y)(-\,y)≧0}となる. \ \ つまり,\ (x+y)y≦0}である. \ \ x- y≧0とは限らない}ので,\ 単純に2乗の差を計算して示すことはできない. \ \ といっても,\ <0の場合を分けてしまえば,\ 後は≧0の場合を2乗の差の計算で済ませられる. (3)\ \ (1)を2回利用}すればよい.\ 同様にしていくと,\ n文字の場合を示すこともできる.} \ \ 等号成立条件は,\ 1回目がx(y+z)≧0,\ 2回目がyz≧0}\ である. \ \ x(y+z)≧0\ かつ\ \ yz≧0 \ (1)\ \ (2)のための誘導であり,\ 単純に差を計算すれば済む. \ \ 等号成立条件はx-y=0,\ つまりx=y}である. (2)\ \ 三角不等式\ x+ y≧x+y}\ の利用を必要とする有名問題}である. \ \ 以前取り上げた\ x}{1+x}+y}{1+y}≧x+y}{1+x+y}\ の発展問題であり,\ 解法もほぼ同じである. \ \ 三角不等式は応用問題では無断使用してよいと思うが,\ 証明してから利用するのが安全である. \ \ 三角不等式により,\ まず(1)のxを\, x+ y,\ yを\,x+y}\,に置き換える}ことができる. \ \ 分子が等しい分数は,\ 分母が大きい方が全体として小さくなるというわけである. \ \ 不等式①は(1)を利用しているから,\ 等号成立条件は\, x+ y=x+y}\,となる. \ \ これは,\ xy≧0となるのであった.\ また,\ 不等式②の等号成立条件はxy=0である. \ \ 結局,\ (2)の不等式の等号成立条件は\ xy≧0\ かつ\ xy=0},\ つまりxy=0}である. \ \ (1)の誘導がなければ差を計算してゴリ押しすることになる(別解). \ \ \ 三角不等式および常に\,xy}(2+x+y})≧0}であることから,\ ≧0が示される. \ \ 常に2+x+y}>0より,\ x+ y=x+y}\ かつ\ xy=0}\ のとき等号が成立する. (3)\ \ まず,\ (2)の両辺に\, z}{1+ z}\,を足す.} \ \ 当然,\ この場合の等号成立条件は(2)と同じくxy=0である. \ \ さらに,\ (2)の不等式において\ x\ →\ x+y,\ y\ →\ z}\ とすれば示される. \ \ この場合の等号成立条件は(x+y)z=0となる. \ \ xy=0\ かつ\ (x+y)z=0},\ つまりx,\ y,\ zのうち少なくとも2つが0}のとき等号成立. \ \ xy=0\ かつ\ (x+y)z=0 y=z=0