完全平方式、2つの文字の恒等式

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ある整式の平方となるような定数a,\ bの値を求めよ{完全平方式と恒等式}{両辺の係数を比較}すると 整式の平方(2乗)で表される整式を完全平方式という. \\[.2zh] 2乗して4次式になるのであるから,\ \bm{ある整式は2次式}である. \\[.2zh] また,\ x^4\,の係数が1であるから,\ ある整式のx^2\,の係数も1である. \\[.2zh] よって,\ \bm{ある整式はx^2+px+qとおけ,\ 恒等式の問題に帰着}する. \\[.2zh] px^2+qx+rとおいてもよいが,\ 結局p=1となるので最初から最小の文字数で設定するのがよい. \\[. なお,\ 右辺は\ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ (要暗記)を用いて展開している. 2変数になっても1変数の場合と同じく,\ \bm{同類項の係数を比較}できる.\ そのことを示しておく. \\[.2zh] ax^2+bxy+cy^2=a’x^2+b’xy+c’y^2\,がx,\ yについての恒等式であるとする. \\[.2zh] まず,\ xについての恒等式とみて係数比較すると a=a’,\ by=b’y,\ cy^2=c’y^2 \\[.2zh] これらがさらにyについての恒等式でもあるから,\ 係数比較すると \bm{a=a’,\ b=b’,\ c=c’} \\[1zh] 別解は\bm{数値代入法}である.\ 未知の文字係数が3個あるので,\ 3組の簡単な(x,\ y)の値を代入する. \\[.2zh] なお,\ (0,\ 0)を代入すると0=0になってしまう. \\[.2zh] また,\ (-\,1,\ 0),\ (0,\ -\,1)を代入した式は,\ (1,\ 0),\ (0,\ 1)を代入した式と同じである. \\[.2zh] 3組の(x,\ y)に対して成り立つというだけでは必要条件に過ぎない. \\[.2zh] 実際に代入して計算し,\ 両辺が一致するかを確認する(\bm{十分条件の確認}).
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