「少なくとも~」と「すべての~」の証明

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a+b+c=1,\ \ ab+bc+ca=abc\ \ のとき,\ 実数a,\ b,\ cのうち少なくとも1つ$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $は1に等しいことを証明せよ.$ \\[1.5zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $\bunsuu xy+\bunsuu yz+\bunsuu zx=\bunsuu yx+\bunsuu zy+\bunsuu xz\ ならば,\ 実数x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しく$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $なることを示せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $a+b+c=ab+bc+ca=3のとき,\ 実数a,\ b,\ cがすべて1であることを証明せよ.$ {「少なくとも~」「すべての~」の証明}} \bm{何を示せば少なくとも1つが1に等しいことを示したことになるか}が重要である. \\[.2zh] 同値変形「\bm{A=0\ \ または\ \ B=0\ \Longleftrightarrow\ AB=0}\,」を利用し,\ 日本語を数式に変換する. \\[1zh]  a,\ b,\ cの少なくとも1つが1に等しい\ \Longleftrightarrow\ a=1\ \ または\ \ b=1\ \ または\ \ c=1 \\[.2zh]   a-1=0\ \ または\ \ b-1=0\ \ または\ \ c-1=0 \\[.2zh]  bm{(a-1)(b-1)(c-1)=0} \\[1zh] 結局は\bm{等式の証明}であるから,\ \bm{複雑な左辺を変形して0になることを示す.} {(x-y)(y-z)(z-x)}=(xy-xz-y^2+yz)(z-x)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{(x-y)(y-z)(z-x)}=xyz-x^2y-xz^2+x^2z-y^2z+xy^2+yz^2-xyz$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{(x-y)(y-z)(z-x)}=\textcolor{cyan}{x^2z+xy^2+yz^2}-(x^2y+xz^2+y^2z)$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ ここで $\bunsuu xy+\bunsuu yz+\bunsuu zx=\bunsuu yx+\bunsuu zy+\bunsuu xz$\ の両辺に$xyz$を掛けると \\[.4zh] \phantom{ (1)}\ \      $\textcolor{cyan}{x^2z+xy^2+yz^2=y^2z+xz^2+x^2y}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $(x-y)(y-z)(z-x)=\textcolor{cyan}{y^2z+xz^2+x^2y}-(x^2y+xz^2+y^2z)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{(x-y)(y-z)(z-x) \phantom{ (1)}\ \ $よって z-y=0\ \ または\ \ x-y=0\ \ または\ \ x-z=0$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $ゆえに \textcolor{red}{z=y\ \ または\ \ x=y\ \ または\ \ x=z}$ \\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい.} x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい\ \Longleftrightarrow\ x=y\ \ または\ \ y=z\ \ または\ \ z=x \\[.2zh] \phantom{x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい}\ \Longleftrightarrow\ x-y=0\ \ または\ \ y-z=0\ \ または\ \ z-x=0 \\[.2zh] \phantom{x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい}\ \Longleftrightarrow\ \bm{(x-y)(y-z)(z-x)=0} \\[1zh] (x-y)(y-z)(z-x)を展開し,\ 条件式を分母をはらった形にして利用すると=0となる. \\[1zh] 実は,\ 条件式を同値変形していき,\ 直接(x-y)(y-z)(z-x)=0を導くこともできる. \\[.2zh] xyzを掛けて分母をはらった後,\ 1つの文字で整理して因数分解する. \\[.5zh]  x^2z+xy^2+yz^2=y^2z+xz^2+x^2y \\[.2zh]  (z-y)x^2-(z^2-y^2)x+yz^2-y^2z=0 \\[.2zh]  (z-y)x^2-(z-y)(z+y)x+yz(z-y)=0 \\[.2zh]  (z-y)\{x^2-(z+y)x+yz\}=0 \\[.2zh]  (z-y)(x-y)(x-z)=0 {(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2}=(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+(c^2-2c+1)$ {a^2+b^2+c^2})-2(a+b+c)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)+3$ \=3^2-2\cdot3-2\cdot3+3=\textcolor{red}{0}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $よって \textcolor{red}{a-1=0\ \ かつ\ \ b-1=0\ \ かつ\ \ c-1=0}$ \\[1zh]a=b=c=1}$ 同値変形「\,\bm{A=0\ \ かつ\ \ B=0\ \Longleftrightarrow\ A^2+B^2=0}\,」を利用し,\ 日本語を数式に変換する. \\[.2zh] 常にA^2\geqq0,\ B^2\geqq0\ より,\ A^2+B^2=0ならばA=B=0である. \\[1zh] a,\ b,\ cはすべて1\ \Longleftrightarrow\ a=1\ \ かつ\ \ b=1\ \ かつ\ \ c=1 \\[.2zh] \phantom{a,\ b,\ cはすべて1}\ \Longleftrightarrow\ a-1=0\ \ かつ\ \ b-1=0\ \ かつ\ \ c-1=0 \\[.2zh] \phantom{a,\ b,\ cはすべて1}\ \Longleftrightarrow\ \bm{(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0} \\[1zh] (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\,は,\ \bm{a,\ b,\ c\ の対称式}である. \\[.2zh] よって,\ 3文字の基本対称式\ a+b+c,\ ab+bc+ca,\ abc\ で表す方針で変形すればよい. \\[.2zh] (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ より\ \ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca
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