「少なくとも~」と「すべての~」の証明

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at-least-all
a+b+c=1,ab+bc+ca=abcのとき,\ 実数a,\ b,\ cのうち少な$ $くとも1つは1に等しいことを証明せよ.$ \ $も2つは等しくなることを示せ.$a,\ b,\ cの少なくとも1つは1に等しい.}$} {何を示せば少なくとも1つが1に等しいことを示したことになるか}を考える. 目指すべき目標(結論)を先に考えておくわけである. 「a,\ b,\ cの少なくとも1つが1に等しい」を言い換えると,\ 次のようになる. {「a=1またはb=1またはc=1」}   これをさらに言い換える. {「a-1=0またはb-1=0またはc-1=0」} 一般に,\ 条件「A=0\ または\ B=0\ または\ C=0」は,\ {積の形}で簡潔に表せる. つまり,\ {「A=0またはB=0またはC=0ABC=0」}である. 結局,\ 本問の場合,\ {(a-1)(b-1)(c-1)=0\ を示す}ことが目標になる. こうして,\ {日本語「少なくとも1つは1に等しい」を数式に変換できる.} 後は{等式の証明}であるから,\ {複雑な左辺を変形}して0になることを示せばよい. 次のように問題の日本語を数式で表現しておき,\ それの証明を目指す. 「x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい」 \「x=yまたはy=zまたはz=x」 \「x-y=0またはy-z=0またはz-x=0」 \「{(x-y)(y-z)(z-x)=0}」 本問のように,\ 問題の条件自体が複雑な場合,\ 先に{同値変形}により簡単にする. まず,\ 両辺にxyzを掛けて分母をはらい,\ すべての項を一方の辺にまとめる. {複数の文字がある場合,\ 最も次数が低い文字で整理する}ことが基本である. ここでは,\ x,\ y,\ zのいずれについても2次式であるから,\ xで整理した. 係数と定数項を因数分解すると共通因数が見つかるから,\ くくりだせばよい. さらに因数分解すると,\ 目標の積の形そのものになる. a+b+c=ab+bc+ca=3のとき,\ a,\ b,\ c\ はすべて1であることを証$ $明せよ. 次のように問題の日本語を数式で表現しておき,\ それの証明を目指す. なお,\ 「A²+B²=0A=0かつB=0」は常識である. A²0,\ B²0\ より,\ A=B=0\ の場合のみ和が0になる. (a-1)²+(b-1)²+(c-1)²\ は,\ a,\ b,\ c\ の{対称式}である. よって,\ 基本対称式\ a+b+c,\ ab+bc+ca,\ abc\ で表す方針で変形すればよい.
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