「少なくとも~」と「すべての~」の証明

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a+b+c=1,\ \ ab+bc+ca=abc\ \ のとき,\ 実数a,\ b,\ cのうち少なくとも1つ$ \ \ $は1に等しいことを証明せよ.$ (2)\ \ $ xy+ yz+ zx= yx+ zy+ xz\ ならば,\ 実数x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しく$ \ \ $なることを示せ.$ (3)\ \ $a+b+c=ab+bc+ca=3のとき,\ 実数a,\ b,\ cがすべて1であることを証明せよ.$ {「少なくとも~」「すべての~」の証明 何を示せば少なくとも1つが1に等しいことを示したことになるか}が重要である. 同値変形「A=0\ \ または\ \ B=0\ ⇔\ AB=0}\,」を利用し,\ 日本語を数式に変換する.  a,\ b,\ cの少なくとも1つが1に等しい\ ⇔\ a=1\ \ または\ \ b=1\ \ または\ \ c=1   a-1=0\ \ または\ \ b-1=0\ \ または\ \ c-1=0  bm{(a-1)(b-1)(c-1)=0} 結局は等式の証明}であるから,\ 複雑な左辺を変形して0になることを示す.} {(x-y)(y-z)(z-x)}=(xy-xz-y^2+yz)(z-x)$ $(x-y)(y-z)(z-x)}=xyz-x^2y-xz^2+x^2z-y^2z+xy^2+yz^2-xyz$ $(x-y)(y-z)(z-x)}=x^2z+xy^2+yz^2}-(x^2y+xz^2+y^2z)$ ここで $ xy+ yz+ zx= yx+ zy+ xz$\ の両辺に$xyz$を掛けると      $x^2z+xy^2+yz^2=y^2z+xz^2+x^2y}$ $(x-y)(y-z)(z-x)=y^2z+xz^2+x^2y}-(x^2y+xz^2+y^2z)$ $(x-y)(y-z)(z-x) $よって z-y=0\ \ または\ \ x-y=0\ \ または\ \ x-z=0$ $ゆえに z=y\ \ または\ \ x=y\ \ または\ \ x=z}$ ∴ x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい.} x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい\ ⇔\ x=y\ \ または\ \ y=z\ \ または\ \ z=x x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい}\ ⇔\ x-y=0\ \ または\ \ y-z=0\ \ または\ \ z-x=0 x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい}\ ⇔\ (x-y)(y-z)(z-x)=0} (x-y)(y-z)(z-x)を展開し,\ 条件式を分母をはらった形にして利用すると=0となる. 実は,\ 条件式を同値変形していき,\ 直接(x-y)(y-z)(z-x)=0を導くこともできる. xyzを掛けて分母をはらった後,\ 1つの文字で整理して因数分解する.  x^2z+xy^2+yz^2=y^2z+xz^2+x^2y  (z-y)x^2-(z^2-y^2)x+yz^2-y^2z=0  (z-y)x^2-(z-y)(z+y)x+yz(z-y)=0  (z-y)\{x^2-(z+y)x+yz\}=0  (z-y)(x-y)(x-z)=0 {(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2}=(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+(c^2-2c+1)$ {a^2+b^2+c^2})-2(a+b+c)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)+3$ \=3^2-2・3-2・3+3=0}$ $よって a-1=0\ \ かつ\ \ b-1=0\ \ かつ\ \ c-1=0}$a=b=c=1}$ 同値変形「\,A=0\ \ かつ\ \ B=0\ ⇔\ A^2+B^2=0}\,」を利用し,\ 日本語を数式に変換する. 常にA^2≧0,\ B^2≧0\ より,\ A^2+B^2=0ならばA=B=0である. a,\ b,\ cはすべて1\ ⇔\ a=1\ \ かつ\ \ b=1\ \ かつ\ \ c=1 a,\ b,\ cはすべて1}\ ⇔\ a-1=0\ \ かつ\ \ b-1=0\ \ かつ\ \ c-1=0 a,\ b,\ cはすべて1}\ ⇔\ (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0} (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\,は,\ a,\ b,\ c\ の対称式}である. よって,\ 3文字の基本対称式\ a+b+c,\ ab+bc+ca,\ abc\ で表す方針で変形すればよい. (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ より\ \ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca