不等式A>Bとその拡張式、根号や絶対値を含む不等式の証明

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inequality-proof
不等式$の証明は,\ ${A-B\ を示す$のが絶対の基本である.  自動的に$=0$になる等式とは異なり,を示すのに一段階必要になる.  また,\ 不等式は,\ 繰り返し適用することで拡張することができる.  この拡張にはやや慣れを要するので,\ 要演習である. 両辺の差をとることには,\ {より本質に近づける}という意味合いもある. 本問の場合は{因数分解}でき,\ さらに{仮定を用いる}と,\ 正であることがわかる. の不等式はと類似しており,\ 拡張したものだろうと予想できる. {の左辺からの左辺を作り出すことを考える.} {のaにab,\ のbにcを代入}すると,\ のa b\ がの\ ab c\ となる. +1や+2の定数部分は後からどうにでもなる. 両辺に1を加えると 右辺のab+1の部分に{再びを適用}して目的の不等式が導かれる. 以上をまとめて簡潔に記述すると,\ 本解のようになる. どうしても紛らわしいと思うならば,\ abc=Acなどと置き換えて考えればよい. {繰り返し不等式を適用するときは,\ 前提条件を満たすか否かの確認を要する. のとき}に成り立つ不等式である. a\ →\ ab,\ b\ →\ c\ としてを適用するには\ が前提}となる. この前提条件が満たされているかを確認した上で,\ の不等式を適用する. 逆に言えば,\ 前提条件が確認されていない状態では,\ を適用できない. 2次式の不等式} 平方完成}し,\ ( )²0\ を利用して\ A-B0\ を示す.}き等号成立.}$ [1.5zh] 与不等式は成立する 2次式の場合は{平方完成}する方向で式変形を行っていく. {( )²0\ を利用}するためである. 本問の場合は3文字あるが,\ まず{1文字aで整理して平方完成}する. {( )²\ の部分は0が確定する}から,\ 残りの{b,\ cの部分をさらに平方完成}する. すべて2乗の形にでき,\ 0が示される. 等号成立条件は,\ 同値関係\ {A²+B²=0A=B=0}\ を利用すればよい. つまり,\ a-{b+c}{2}=0かつb-c=0\ が等号成立条件である. は別解の方法がとりわけ重要である. {対称性を利用する有名な変形パターン}であり,\ 是非とも習得しておいてほしい. 12\ を無理矢理くくりだして2倍にし,\ 2a²=a²+a²\ と考えてうまく分配する. すると,\ 対称性が維持されたより本質的な平方完成が可能になるのである. はの拡張である. {のa,\ b,\ cに\ a²,\ b²,\ c²\ を代入}すると考えればよい.\ 前提条件はない. さらに,\ {のa,\ b,\ cに\ ab,\ bc,\ ca\ を代入}すると考えてもう一度適用する. 等号成立条件もで求めたものを利用する. のa,\ b,\ cを\ a²,\ b²,\ c²\ と考えたのであるから,\ a²=b²=c²\ となる. {2回の不等式の等号が両方成立して初めて,\ の不等式の等号成立が示される.} よって,\ a²=b²=c²かつab=bc=ca\ が等号成立条件となる. a,\ b,\ cのいずれかが0のとき,\ 明らかに\ a=b=c=0 a,\ b,\ cがいずれも0でないとき,\ ab=bc\ より\ a=c (0でなければ両辺割れる) 同様にして,\ bc=ca\ より\ b=a よって,\ a=b=c\ であり,\ これは\ a²=b²=c²\ も満たす. 結局,\ {「a²=b²=c²かつab=bc=caa=b=c」}である. 次の不等式を証明せよ.\ また,\ 等号成立条件を示せ.$  ${根号や絶対値を含む不等式}  両辺を2乗して,{A²-B²0\ を示す.$  $等号は,\ ab}=0,\ つまり\ {a=0\ または\ b=0\ のとき}に成立する.$ この同値関係には,\ 下線部の前提条件があることに要注意である. {左辺も右辺も0以上の場合に限り,\ 両辺を2乗しても同値}なのである. これを利用し,\ A Bを示す代わりに,\ A² B²\ を示すわけである. このとき,\ 常に\ といえることがポイントになる. 本問は,\ 左辺の\ 2 a+3 b\ も,\ 右辺の\ {4a²+9b²}\ も明らかに0以上である. よって,\ まず2乗して\ A² B²\ を示す. その後,\ {A0,\ B0\ を断った上で2乗をはずす}(この記述を忘れない). 両辺に絶対値を含む不等式も2乗が有効である. {絶対値は2乗するとはずれる}からである.  {X}²=X²} また,\ 条件の不等式も両辺が正であるから,\ 2乗しても同値である. これを利用すると,\ (2乗の差)=(x²-1)(y²-1)\ が示せるわけである.
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