多項定理 (a+b+c)nの展開式の係数

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polynominal-theorem
二項定理では,\ 「組合せ」の考え方を用いて\ (a+b)³\ の展開式が得られた.$  $多項定理に一般化するには,\ 別の考え方が必要になる.$  $例として,\ (a+b)³\ のa²bの係数を考える.\ 組合せで考えると,\ C 31\ であった.$  $一方,\ a²bが何個できるかは,\ a2個とb1個の並べ方の総数とも一致する.$  $実際,\ aab,\ aba,\ baa\ の3通りがある.同じものを含む順列}」}に他ならず,  $「同じものを含む順列」の考え方ならば,\ 直ちに多項定理に一般化できる.$  $(a+b+c)^n\ の展開式の\ a^pb^qc^r\ の項の係数を考える.$  $この項は,\ n個の因数から\ aをp個,\ bをq個,\ cをr個\ 選んで作られる.$  $係数は,\をp個,\ bをq個,\ cをr個\ 並べたときの総数}\ 二項定理では,\ C}を用いて表現すると,\ 意味がわかりやすく,\ 簡潔だった. しかし,\ 項数が増えると,\ C}を用いた表現は逆にわかりにくくなる. 例として,\ (a+b+c+d)^n\ のa^pb^qc^rd^s\ の項の係数を考える. n個の因数からaをp個,\ bをq個,\ cをr個,\ dをs個選ぶときの場合の数は (n個からp個選び,\ 残りのn-p個からq個選び,\ ) このように複数のC}の積となり,\ 非常にわかりにくい. 「同じものを含む順列」で考えると,\ 階乗の形で\ {n!}{p! q! r! s!}\ と表せる. {「同じものを含む順列」の考え方}は,\ ここでは最低限の説明に留めておく. 計5個の○○○△△の並べ方を総数を求めるとする. {一旦すべて別物とみなす}と,\ 並べ方の総数は 5! ところが,\ 実際には○3個と△2個はそれぞれ区別できない(同じものである). 区別できないものを区別できるものとして並べたのであるから,\ 調整が必要である. 3個の並べ方の総数3! と2個の並べ方の総数2! で割ると {一旦区別できるものとして並べ,\ 後から区別できない分を割る}わけである. $(x-2y+3z)^8\ のx⁴y²z²\ の項の係数を求めよ.$ $(x²-3x+2)^{10}\ のx⁵\ の項の係数を求めよ.$ 8個の因数から,\ x,\ -2y,\ 3zを4個,\ 2個,\ 2個選べばよいのはほぼ明らかである. しかし,\ 応用性を考え,\ 一般項から記述した解答にした. のように,\ 何個選べばx⁵になるかというのは単純にはわからない. {一般項を文字で表し,\ 数式で厳密に求める}必要がある. p+q+r=10\ かつ\ 2p+q=5\ を満たす0以上10以下の整数の組を探せばよい. まず,\ 2p+q=5\ のpに着目する(係数が大きい項は候補が少ないから). p,\ qが0以上の整数であることを強烈に意識して特定する. p3\ のとき,\ それだけで5を超えてしまうから不適である. よって,\ {p=0,\ 1,\ 2\ のいずれか}であり,\ 後は対応するq,\ rを順に求めればよい. q=5-2p0\ より,\ p52\ と考えるのもよい. いずれにしても,\ {数式で思考し,\ x⁵となる組合せを見落とさない}ことが重要だ. なお,\ 0!=1\ とする決まりである.
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