多項定理 (a+b+c)nの展開式の係数

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二項定理をさらに一般化し,\ 三項以上にまで拡張する. \\[.2zh]  二項定理では,\ 「組合せ」の考え方を用いて\ $(a+b)^n$の展開式を得た. \\[.2zh]  同様に考えても拡張は可能だが,\ 式が複雑になってしまうので別の考え方でアプローチする. \\[1zh]  例として,\ $(a+b)^3$における$a^2b$の項の係数を考える.\ 組合せの考え方では$\kumiawase 31$であった. \\[.2zh]  一方,\ $a^2bが何個できるかは,\ \bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{a\,2個とb\,1個の並べ方の総数とも一致する.}}$ \\[.2zh]  実際,\ $aab,\ aba,\ baa$の3通りがある. \\[.2zh]  これは,\ \textbf{「\textcolor{red}{同じものを含む順列}」}に他ならない.\ よって,\ $\textcolor{red}{\bunsuu{3\kaizyou}{2\kaizyou1\kaizyou}=3}$と求められる. \\\\  この「同じものを含む順列」の考え方を用いると,\ 容易に三項以上にまで一般化できる. \\[.2zh]  $(a+b+c)^n$の展開式の$a^pb^qc^r$の項の係数を考えよう. \\[.2zh]  この項は,\ $n個の因数からaをp個,\ bをq個,\ cをr個選んで作られる.$ \\[.2zh]  その係数は,\ $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{aをp個,\ bをq個,\ cをr個並べたときの総数}\ 最後に数\text Aの場合の数分野で学習した「同じものを含む順列」の考え方を簡単におさらいする. \\[.2zh] 計5個の○○○△△の並べ方を総数を求めるとする. \\[.2zh] \bm{○も△も一旦すべて別物とみなす}と,\ 並べ方の総数は 5\kaizyou \\[.2zh] ところが,\ 実際には○3個と△2個はそれぞれ区別できない(同じものである). \\[.2zh] ○3個の並べ方の総数3\kaizyou と△2個の並べ方の総数2\kaizyou で割ると \bunsuu{5\kaizyou}{3\kaizyou2\kaizyou} \\[.8zh] \bm{一旦区別できるものとして並べ,\ 後から区別できない分の並べ方で割って調整する}わけである. \\[1zh] 二項定理では\text{C}を用いた表現が簡潔だったが,\ 項数が増えると逆にわかりにくくなる. \\[.2zh] 例として,\ (a+b+c+d)^n\ のa^pb^qc^rd^s\ の項の係数を\text{C}で表現してみよう. \\[.2zh] 係数は,\ n個の因数からaをp個,\ bをq個,\ cをr個,\ dをs個選ぶときの場合の数である. \\[.2zh] n個からp個選び,\ 残りのn-p個からq個選び,\ 残りのn-p-q個からr個選ぶことになる. \\[.2zh] よって,\ \kumiawase np\times\kumiawase {n-p}{q}\times\kumiawase{n-p-q}{r}\ となるわけだが,\ 非常にわかりにくい. \\[.2zh] 「同じものを含む順列」の考え方を用いると,\ 階乗の形で\ \bunsuu{n\kaizyou}{p\kaizyou q\kaizyou r\kaizyou s\kaizyou}\ と簡潔に表せるわけである. (1)\ \ 8個の因数から,\ x,\ -2y,\ 3zをそれぞれ4個,\ 2個,\ 2個選べばよいことはすぐにわかる. のみの記述で即答してもよいが,\ 一般項から記述すると丁寧である. \\\\ (2)\ \ 何個ずつ選べばx^3\,の項になるかはぱっと見ではわからない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{一般項を立式し,\ 数式的に確実に求める}べきである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ xの部分は指数法則\ (a^m)^n=a^{mn},\ \ a^m\times a^n=a^{m+n},\ \ a^m\div a^n=a^{m-n}\ を用いて計算する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ \bm{p+q+r=5\ かつ\ 2p+q-r=3\ を満たす0以上の整数p,\ q,\ rの組を探す.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ とりあえず2式からrを消去すると,\ 3p+2q=8となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これを満たす0以上の整数p,\ qの組は(p,\ q)=(2,\ 1),\ (0,\ 4)のみである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ p\geqq3のとき3p\geqq9となってしまうし,\ p=1のときqは整数にならないからである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 各(p,\ q,\ r)のときの係数の和が最終的な答えである.\ なお,\ 0\kaizyou=1\ とする決まりである.
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