恒等式の未定係数の決定(x-aで展開)、完全平方式、整式の一致の定理

スポンサーリンク
identity

n次式\ f(x)=g(x)\ がxについての恒等式$  $\ (.28zw}I.28zw})}\ {xにどんな値を代入しても等式が成立する}(恒等式の定義}).}$  $\ (.19zw}I-.19em}I.1zw})}\ {f(x)とg(x)の次数が等しく,\ 同じ次数の項の係数も等しい.$  $\ (III)}\ {n+1個の異なるxの値に対して成立する}(整式の一致の定理}) {恒等式か方程式かで扱い方が異なる}から,\ その違いの認識が重要である. 恒等式の例 x2-3x=x(x-3) (変形しただけなので,\ 任意のxについて成立) 方程式の例 x2-3x=0 (等号成立はx=0,\ 3のときのみ) 恒等式の定義と照らし合わせてよく確認しておこう. 「次数が等しく,\ 同じ次数の項の係数も等しい」ことから,\ {係数比較が許される.} {整式の一致の定理}(III\ →\ II)}の証明を示す. f(x)-g(x)=h(x)とすると,\ h(x)はn次以下の式である. 相異なるn+1個のxの値をa?,\ a?,\ ,\ a_n,\ a_{n+1}\ とする. h(x)=0が相異なるn個のxの値a?,\ a?,\ ,\ a_n\ に対して成立するとき 因数定理より h(x)=a(x-a?)(x-a?)(x-a_n)(a:定数) と表せる. さらに,\ a_{n+1}\ に対しても成立するのいずれとも異なるから a=0 よって 恒等的に\ h(x)=f(x)-g(x)=0 明らかに であることから,は同値である. $次の等式がxについての恒等式となるように定数a,\ b,\ cの値を定めよ.$  $$係数比較法} 両辺の次数と同じ次数の項の係数が等しい}ことを利用.}  $$数値代入法} どんな値でも常に成り立つ}こと(恒等式の定義})を利用. }  [係数比較法   置換の利用]  微分(数III)の利用]   両辺をxで微分}すると 3×2-2x-5=3(x-1)2+2a(x-1)+b$   $両辺をxで微分 恒等式の未定係数の決定の基本は{「係数比較法」と「数値代入法」}である. 特に,\ {係数比較法は万能で最も確実な解法}である. 特定の条件下では,\ 数値代入法も有効である. どんな値を代入しても成り立つのだから,\ 特殊な場合を考えて係数を定めてしまう. {3つの文字の値は3つの式があれば特定できる}から,\ 簡単な値を3つ代入する. しかし,\ 特殊な場合のみの考慮になるので,\ 必要条件でしかない. よって,\ {本当に恒等式となるかという逆の確認をしなければならない.} 求まった値を代入して計算し,\ 実際に一致するかを確かめる. 逆の確認が必須であるため,\ 必ずしも係数比較法より楽なわけではない. ただし,\ 逆の確認が必要ない穴埋め式試験では,\ 数値代入法が有利である. 本問は,\ {問題の式が特徴的な形}であるため,\ 他の2つの別解のほうが楽である. 値の特定だけならば,\ {「恒等式は微分しても恒等式である」}を利用して瞬殺できる. 微分により,\ x=1を代入して簡単になる恒等式を増やせるからである. 本問のような式変形を,\ {x-aで展開する}といい,\ ある種の問題で役立つ. あらゆる整式は,\ 次のような方法で直接的にx-aで展開できる. 本問での例を示す.\ {左辺のxに\ (x-1)+1\ を代入し,\ (x-1)のまま展開する.} 一般に,\ {等式1つにつき文字を1つ消去できる.} 問題を読んだ時点で{実質1変数の恒等式の問題}であることに気付きたい. {どの文字を残してどの文字を消去するか}という明確な意図をもって変形する. とりあえず最も消去しやすいyを消去するために差をとると x-z=3 この時点で,\ xを残すかzを残すかの2択となる.\ ここでは,\ zを残すことにする. zを残すため,\ {x=(zの式),y=(zの式)\ にしようと考えて変形}したのである. これを問題で与えられた等式に代入すると,\ zのみの恒等式となる. $x3+ax2+4x-1をx2-x+1で割ると,\ 商がbx+1であるという.$ $このとき,\ 定数a,\ bと余りを求めよ.$   $余りを\ cx+d}\ とおくと   筆算で割り算(省略)すると $商\ x+a+1,余り\ (a+4)x-a-2}$   $x+a+1=bx+1\ の係数を比較}すると b=1,a+1=1}$ {整式の割り算について成り立つ等式\ A=BQ+R\ は恒等式}である. 割り算の問題は,\ この等式を作成してしまえば,\ 後は恒等式の問題に帰着する. 割る式が2次式であるとき,\ {余りは1次以下の式となる}ことを考慮して設定する. 割られる式と割る式が判明している場合,\ 実際に割り算することができる. うまい解法を考えている暇があったら,\ 実際に割り算してみた方がよいことも多い. x?-4×3+ax2+x+b\ が,\ ある整式の平方となるような定数a,\ bの値を$ $求めよ.                        [札幌大] 2乗して4次式になるのであるから,\ ある整式は2次式である. また,\ x?の係数が1であるから,\ ある整式のx2の係数も1である. よって,\ {ある整式はx2+px+qとおけ,\ 恒等式の問題に帰着}する. 右辺は\ (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\ (要暗記)を用いて展開する.
タイトルとURLをコピーしました