チェビシェフの和の不等式の証明とその応用

スポンサーリンク
$a\geqq b,\ x\geqq y$のとき $2(ax+by)\geqq(a+b)(x+y)$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $a\geqq b\geqq c,\ x\geqq y\geqq z$のとき $3(ax+by+cz)\geqq(a+b+c)(x+y+z)${チェビシェフの和の不等式の証明とその応用}}}} \\\\ チェビシェフの和の不等式}x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n}{n}\geqq\bunsuu{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\cdot\bunsuu{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}}}$} \\\\\\  (1)\ \ $\textcolor{red}{a\geqq b,\ x\geqq y}$より \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \  $(左辺)-(右辺)=2(ax+by)-(a+b)(x+y)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \  $\phantom{(左辺)-(右辺)}=ax+by-ay-bx=a(x-y)-b(x-y)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \  $\phantom{(左辺)-(右辺)}=\textcolor{red}{(a-b)(x-y)\geqq0}$ \\[1zh] \centerline{$\therefore\ \ \bm{2(ax+by)\geqq(a+b)(x+y)}$} \\\\\\  (2)\ \ $\textcolor{red}{a\geqq b\geqq c,\ x\geqq y\geqq z}$より \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \  $(左辺)-(右辺)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \  $ =3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \  $ =3(ax+by+cz)-(ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \  $ =2ax+2by+2cz-ay-az-bx-bz-cx-cy$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \  $ =(ax+by-ay-bx)+(by+cz-bz-cy)+(cz+ax-cx-az)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \  $ =\textcolor{red}{(a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(c-a)(z-x)\geqq0}$ \\[1zh] \centerline{$\therefore\ \ \bm{3(ax+by+cz)\geqq(a+b+c)(x+y+z)}$} \\\\\\  \betu\ \ $\textcolor{red}{a\geqq b,\ x\geqq y}$より\ \ $\textcolor{red}{2(ax+by)\geqq(a+b)(x+y)}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{red}{b\geqq c,\ y\geqq z}$より\ \ \,$\textcolor{red}{2(by+cz)\geqq(b+c)(y+z)}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{red}{a\geqq c,\ x\geqq z}$より\ \ $\textcolor{red}{2(cz+ax)\geqq(c+a)(z+x)}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ 辺々を足すと \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ \scalebox{.95}[1]{\ \ $\textcolor{red}{2(ax+by)+2(by+cz)+2(cz+ax)\geqq(a+b)(x+y)+(b+c)(y+z)+(c+a)(z+x)}$} \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $4(ax+by+cz)\geqq(ax+by+cz)+(a+b+c)(x+y+z)$ \\\\ \centerline{$\therefore\ \ \bm{3(ax+by+cz)\geqq(a+b+c)(x+y+z)}$} \\\\\\ チェビシェフの和の不等式は,\ \bm{(より大きい値同士の積の平均)\geqq(平均)\times(平均)}\ という意味をもつ. \\[.2zh] 分母を払うと \bm{n(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)\geqq(x_1+x_2+\cdots+x_n)(y_1+y_2+\cdots+y_n)} \\[.2zh] 本問はこの分母を払ったチェビシェフの和の不等式のn=2とn=3の場合の証明である. \\[.2zh] 公式として覚えておく必要はないが,\ 知っていると見通しがよくなる問題が出題される. \\[1zh] (1)\ \ 差が因数分解でき,\ a\geqq b,\ x\geqq yであることから\geqq0が示される. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 等号成立条件は \bm{a=b\ \ または\ \ x=y} \\[1zh] (2)\ \ 差を計算すればよいが,\ 2項の場合にならって上手く変形する必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 等号成立条件は \bm{(a-b)(x-y)=0\ かつ\ (b-c)(y-z)=0\ かつ\ (c-a)(z-x)=0} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり     (a=b\ または\ x=y)\ かつ\ (b=c\ または\ y=z)\ かつ\ (c=a\ または\ z=x) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ \bm{a=b=c\ または\ x=y=z}\ が等号成立条件である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ※\ 例えば,\ 各括弧内からa=b,\ y=z,\ z=x\ を選ぶとx=y=zが得られる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  \ このように,\ どのような選び方をしても必ずa=b=cまたはx=y=zが得られる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{文字を循環させた3式の辺々を足す}という不等式の拡張の方法も有効である(別解). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ 辺々を足した後,\ 最終形を念頭におきながら上手く変形する必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 左辺が4(ax+by+cz)になるので,\ まず右辺に(ax+by+cz)を作ることを考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ すると,\ 残りの部分が綺麗に因数分解できる. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \  (a+b)(x+y)+(b+c)(y+z)+(c+a)(z+x) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \   =(ax+ay+bx+by)+(by+bz+cy+cz)+(cz+cx+az+ax) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \   =(ax+by+cz)+ay+bx+by+bz+cy+cz+cx+az+ax \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \   =(ax+by+cz)+a(x+y+z)+b(x+y+z)+c(x+y+z) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \   =(ax+by+cz)+(a+b+c)(x+y+z) a,\ b,\ c$を正の実数とするとき,\ 不等式が成り立つことを証明せよ.\ \maru{\text A}を用いてもよい. a\geqq b\geqq c}$としても一般性を失わない. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{red}{\maru{\text A}の$x,\ y,\ z$をそれぞれ$a,\ b,\ c$に置き換える}と \\[.2zh] bm{3(a^2+b^2+c^2)\geqq(a+b+c)^2}$} \\\\  \betu\ \ $\textcolor{red}{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}=3a^2+3b^2+3c^2-(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}=\textcolor{red}{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqq0}$ \\\\\\  (2)\ \ $\textcolor{cyan}{a\geqq b\geqq c}$としても一般性を失わない.   このとき\ \ $\textcolor{cyan}{a^2\geqq b^2\geqq c^2}$ \\[1zh] (1)の不等式の両辺に$a+b+c$を掛ける}と $3\textcolor{forestgreen}{(a+b+c)}(a^2+b^2+c^2)\geqq\(a+b+c)^3}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{red}{\maru{\text A}の$x,\ y,\ z$をそれぞれ$a^2,\ b^2,\ c^2$に置き換える}と \phantom{ (1)}\ \ よって $9(a^3+b^3+c^3)\geqq3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geqq(a+b+c)^3$ \\\\ \centerline{$\therefore\ \ \bm{9(a^3+b^3+c^3)\geqq(a+b+c)^3}$ (1)\ \ 以前にも取り上げた超頻出の不等式であり,\ チェビシェフの和の不等式を利用すると瞬殺できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 通常,\ チェビシェフの和の不等式を利用するには前提条件a\geqq b\geqq c,\ x\geqq y\geqq zが必要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問の不等式は,\ \bm{3文字a,\ b,\ cの対称式}\,(どの2文字を入れ替えても変わらない式)である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この場合,\ \bm{自分でa\geqq b\geqq cと大小関係を設定しても一般性を失わない.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ こうして,\ 本問でもチェビシェフの和の不等式を利用できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ なお,\ 等号成立条件は\bm{a=b=c}である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 実際には,\ チェビシェフの和の不等式を記述試験で無断使用することは推奨されない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 高校数学では別解が正攻法である. \\[1zh] (2)\ \ チェビシェフの和の不等式を利用し,\ (1)を拡張すればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\dot{正}の実数なので2乗しても大小関係が変わらない}ことに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{a=b=c\ または\ a^2=b^2=c^2},\ つまり\bm{a=b=c}のとき等号が成立する(a,\ b,\ cは正数). \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 同様にしていくと,\ 一般に\ \bm{3^{n-1}(a^n+b^n+c^n)\geqq(a+b+c)^n}\ が成り立つことがわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 両辺を3^n\,で割ると \bm{\bunsuu{a^n+b^n+c^n}{3}\geqq\left(\bunsuu{a+b+c}{3}\right)^n}  \bm{(n乗の平均)\geqq(平均のn乗)}
タイトルとURLをコピーしました