二項展開式の係数の最大値・最小値

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(x+2)^{8}$の展開式の$x^k$の係数を$a_k$とするとき,\ $a_k$の最大値とそのときの$k$の値 \ \hspace{.5zw}(2)\ \ $(x-2)^{10}$の展開式の$x^k$の係数を$a_k$とするとき,\ $a_k$の最大値・最小値とそのとき \{二項展開式の係数の最大・最小}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ $(2+x)^8$の展開式の一般項は $\kumiawase8k2^{8-k}x^k$   よって\ \ 結論から言えば,\ 二項定理を用いて展開すると以下となる. \\[.2zh]  (x+2)^8=x^8+16x^7+112x^6+448x^5+1120x^4+1792x^3+1792x^2+1024x+256 \\[.2zh] 8乗程度ならこれを計算して答えることも可能だが,\ 応用が利かないので一般的な方法を習得しよう. \\[1zh] まず,\ 問題の設定は\,a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0\,である. \\[.2zh] このままではa_k\,からa_0\,の順で並んでいるのでわかりづらい. \\[.2zh] xの昇べきの順に並べかえてa_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\cdots+a_{k-1}x^{k-1}+a_kx^k\,として考える. \\[.2zh] そのために,\ (x+2)^8\,ではなく(2+x)^8\,として二項定理を適用し,\ 一般項a_k\,を求めた. \\[.2zh]  (a+b)^n\,の一般項(第r+1項)は \bm{\kumiawase nra^{n-r}b^n} \\[1zh] さて,\ a_k\,の最大を求めるには,\ \bm{a_k\,とa_{k+1}\,を大小比較する}のが基本であり,\ 2つの方法がある. \\[.2zh]  \maru1\ \ \bm{比\,\bunsuu{a_{k+1}}{a_k}\,と1の大小を考える.}   \maru2\ \ \bm{差a_{k+1}-a_k\,と0の大小を考える.} \\[.8zh] 本問のように\bm{a_k\,が積や商の形で表されている場合には\maru1の方法が有利}である. \\[.2zh] 例えばa_k=k^3+2k^2-3kのように,\ 和や差の形で表されている場合には\maru2の方法が有利である. \\[1zh] a_k\,とa_{k+1}\,の比を計算するとき,\ \bm{\kumiawase8k\,や\,\kumiawase{8}{k+1}\,を階乗の形で表す}必要がある. \\[.2zh] 階乗で表すと多くが約分されてかなり簡潔な形になる.\ これを見越して比を計算したわけである. \\[.2zh] 最初は階乗の約分に戸惑う人も多いだろうが,\ 具体的な数字で考えると大したことはしていない. \ 比が求まれば,\ その比と1を大小比較することにより,\ a_k\,とa_{k+1}\,の大小関係がわかる. \\[.2zh] k=2のときa_k=a_{k+1}\,ということは,\ a_2=a_3\,ということである. \\[.2zh] kは整数なので,\ k<2はk=0,\ 1であることを意味する. \\[.2zh] k=0,\ 1のときa_k2はk=3,\ 4,\ \cdots,\ 7を意味し,\ a_3>a_4>\cdots>a_7>a_8\,となる. \\[.2zh] こうして,\ a_2=a_3\,が最大値であることがわかる. \\[.2zh] a_k=a_{k+1}\,の場合を考慮せず,\ 安易にk=2のとき最大としてしまうミスが多いので注意! 結論から言えば,\ 二項定理を用いて展開すると以下となる. \\[.2zh] x^{10}-20x^9+180x^8-960x^7+3360x^6-8064x^5+13440x^4-15360x^3+11520x^2-5120x+1024 \\[1zh] -の項がある場合,\ (1)と同様にしてa_k\,とa_{k+1}\,の大小を比較することができない. \\[.2zh] ここで,\ a_k=\kumiawase{10}{k}(-2)^{10-k}\,より,\ a_k\,は正負が交互になることが明らかである. \\[.2zh] つまり,\ \bm{kが偶数のときa_k>0,\ \ kが奇数のときa_k<0}\,となる. \\[.2zh] 正負に規則性があるならば,\ 結局は\bm{\zettaiti{a_k}\,の最大を求める}ことに帰着する. \\[.2zh] その後で正負を考慮してa_k\,の最大・最小を答えればよい. \\[1zh] \zettaiti{a_k}\,と\zettaiti{a_{k+1}}\,の大小比較により,\ a_3\,が最小であることはすぐにわかる. \\[.2zh] 最大を求めるとき,\ a_2\,とa_4\,を大小比較することになる. \\[.2zh] 実際にa_2\,とa_4\,の値を求めてもよいが,\ ここでも\bm{比と1の大小比較が有効}である.
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