根号を含む不等式の証明

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a,\ b,\ x,\ y$は正の実数とする.\ 次の不等式が成り立つことを示せ. \\[.2zh] \hspace{.5zw}また,\ 等号成立条件を調べよ. {根号を含む不等式の証明}}}} \\\\   $\bm{\textcolor{red}{A\geqq0,\ B\geqq0}}\ のとき\ \ \bm{\textcolor{red}{A\geqq B\ \Longleftrightarrow\ A^2\geqq B^2}}$ を利用する. (左辺)^2-(右辺)^2}= 根号を含む不等式A\geqq Bの証明では,\ A-B\geqq0を示すことが難しい. \\[.2zh] 根号のせいで計算を進めることができなくなるからである. \\[.2zh] そこで,\ \bm{左辺も右辺も0以上ならば,\ 両辺を2乗しても同値である}ことを利用するのが基本となる. \\[.2zh] A\geqq Bを示す代わりにA^2\geqq B^2,\ つまりは\bm{A^2-B^2\geqq0を示せばよい}というわけである. \\[1zh] 本問は等式条件つきの不等式なので,\ \bm{1文字消去}の基本に従いbを消去すると本解となる. \\[.2zh] 展開してx,\ yで整理するとa(1-a)をくくり出せるので,\ 残りを平方完成(因数分解)すればよい. \\[.2zh] a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\,とするだけだが,\ 根号を含む場合は紛らわしくなるので演習が必要である. \\[.2zh] a>0,\ b=1-a>0より,\ \geqq0が示される. \\[.2zh] 最後,\ \bm{2乗をはずすとき,\ 前提条件A\geqq0,\ B\geqq0の確認を忘れてはならない.} \\[.2zh] a\neqq0,\ b=1-a\neqq0より,\ \bm{\ruizyoukon x-\ruizyoukon y=0},\ つまりx=yのとき等号が成立する. \\[1zh] 実は,\ 別解のようにbを消去せずに対称性を保ったまま処理すると簡潔に済む. 次の不等式が成り立つことを示せ} $a\geqq0,\ b\geqq0,\ c\geqq0$のとき $\ruizyoukon{a+b+c}\leqq\ruizyoukon a+\ruizyoukon b+\ruizyoukon c\leqq\ruizyoukon{3(a+b+c)}$ \ 左側の不等式は,\ 2乗の差を計算すると容易に証明できる. \\[.2zh] \ruizyoukon{ab}\geqq0,\ \ruizyoukon{bc}\geqq0,\ \ruizyoukon{ca}\geqq0\ より,\ \bm{等号成立条件は\ ab=0\ かつ\ bc=0\ かつ\ ca=0}\ である. \\[.2zh] この条件は,\ \bm{a,\ b,\ cのうち少なくとも2つが0}と言い換えることができる. \\[1zh] 右側の不等式を証明するには,\ \bm{対称性を生かして平方完成する}必要がある. \\[.2zh] 一見難しく見えるが,\ 前項で学習した\ \bm{a^2+b^2+c^2\geqq ab+bc+ca\ の証明}に他ならない.bm{等号成立条件は\ a=b=c}\ である.
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