絶対値を含む不等式の証明

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\zettaiti x<1,\ \ \zettaiti y<1のとき,\ \ \zettaiti{xy+1}>\zettaiti{x+y}\ \ が成り立つことを示せ.$ \\ {絶対値を含む不等式の証明 絶対値を含む不等式A\geqq Bの証明では,\ A-B\geqq0を示すことが難しい. \\[.2zh] 絶対値のせいで計算を進めることができなくなるからである. \\[.2zh] 実際,\ 本問の場合も\ \zettaiti{xy+1}-\zettaiti{x+y}\ としたところでそれ以上どうにもならない. \\[.2zh] そこで,\ \bm{左辺も右辺も0以上ならば,\ 両辺を2乗しても同値である}ことを利用するのが基本となる. \\[.2zh] A\geqq Bを示す代わりにA^2\geqq B^2,\ つまりは\bm{A^2-B^2\geqq0を示す}のである. \\[.2zh] 以下のように\bm{絶対値は2乗するとはずれる}から,\ 普通に計算できるようになる. 条件の\ \zettaiti x<1,\ \zettaiti y<1\,の両辺を2乗するとx^2<1,\ y^2<1となることから,\ \geqq0が示される. \\[.2zh] この条件の不等式も両辺が正なので2乗しても同値というわけである. \\[1zh] 最後,\ \bm{前提条件のA\geqq0,\ B\geqq0を断った上で2乗をはずす.} \\[.2zh] 左辺も右辺も絶対値がついているので文句なく\geqq0である.
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