整式の割り算と整式の決定

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割り算について成り立つ等式(除法の原理)}} \\[1zh]   2つの整式$A,\ B$に対して,\ 次の等式を満たす整式$Q,\ R$が\underline{ただ1通り}に定まる. \\[1zh] A=BQ+R  (Bの次数)>(Rの次数)}}$}}} \\\\   整式$Q$を$A$を$B$で割ったときの\textbf{\textcolor{blue}{商}},\ $R$を\textbf{\textcolor{blue}{余り}}という. \\[.2zh]   特に,\ $R=0$のとき,\ $\bm{\textcolor{blue}{AはBで割り切れる}}$という. \\\\  実際に整式$A,\ B$から$Q,\ R$を求めるには,\ 整数の割り算と同様に\textbf{\textcolor{magenta}{筆算する}}のが基本となる. \ 計算・思考手順}} \\[1zh]   \maru1\ \ $A=2x^3-7x^2-5,\ B=x^2-2x+3$と\textbf{\textcolor{forestgreen}{降べきの順に整理}}してから存在しない次数の項は開けて書く.}}\ あるいは$\bm{0x^n}$のように書く.}} \\[1zh]   \maru2\ \ $B$の最高次の項$2x^3$を消去するためには,\ $A$に$2x$を掛ければよい. \\[.2zh]    \ \ $B$の左上に$\textcolor{red}{2x}$と書き,\ $A\times2x=\textcolor{red}{2x^3-4x^2+6x}$を$B$の下に\{次数をそろえて}}書く. \\[.2zh]    \ \ $B-(2x^3-4x^2+6x)$を計算すると,\ $\textcolor{red}{-\,3x^2-6x-5}$となる. \\[.2zh]    \ \うっかり足し算してしまうミスが非常に多いので注意!!!}} \\[1zh]   \maru3\ \ $-\,3x^2-6x-5$の最高次の項$-\,3x^2$を消去するためには,\ $A$に$-\,3$を掛ければよい. \\[.2zh]    \ \ $A\times(-\,3)=\textcolor{red}{-\,3x^2+6x-9}$を書き,\ 引き算すると$\textcolor{red}{-\,12x+4}$となる. \\[.2zh]    \ $\bm{B=x^2-2x+3}$よりも次数が低くなった}}ので,\ $R=-\,12x+4$である. \\\\\\  等式の形で表すと $\bm{2x^3-7x^2-5=(x^2-2x+3)(2x-3)-12x+4}$ \\[.5zh]           $\bm{商\ 2x-3, 余り\ -12x+4}$ \\\\\\  整式の割り算の筆算は,\ 慣れてきたら以下のような係数のみの表記法で計算すると速い (Aの次数)\geqq(Bの次数)のとき,\ 整式Q,\ Rが存在することは筆算の過程から明らかであろう. \\[.2zh] (Aの次数)<(Bの次数)のとき,\ Q=0,\ R=Aとなる.  \rei\ \ 2x=(x^2+1)\cdot0+2x \\[.2zh] 整数の割り算において,\ 2\div3=0あまり2,\ つまり2=3\cdot0+2と同様である. \\[1zh] さらに,\ 整式Q,\ Rがただ1つであることを証明しておく. \\[.2zh] ただ1つであることの証明には背理法が有効であることが多い.\ \bm{2つあると仮定して矛盾を導く.} \\[.7zh]  A=BQ_1+R_1,\ A=BQ_2+R_2\,と2通りに表されるとする. \\[.2zh]  両辺を引くと 0=B(Q_1-Q_2)+R_1-R_2    よって\ \ B(Q_1-Q_2)=R_2-R_1\ \ \cdots\cdots\,\maru1 \\[.2zh]  Q_1\neqq Q_2\,と仮定すると,\ 左辺の次数はBの次数以上である. \\[.2zh]  一方,\ (Bの次数)>(Rの次数)より,\ 右辺の次数はBよりも低くなるので,\ これは矛盾である. \\[.2zh]  よって\ \ Q_1=Q_2   このとき,\ \maru1よりR_2-R_1=0であるから R_1=R_2 $x$についての整式とみて$A$を$B$で割ったときの商と余りを求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}\ \ (1)\ \ $A=2x^2-4x+3,\ B=2x-1$   (2)\ \ $A=x^3+y^2-2xy,\ B=x^2+xy+1$ \\ (2)\ \ 複数の文字を含む場合,\ どの文字についての式とみなすかで結果が異なることがある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ xについて降べきの順に整理して計算する.\ yは定数扱いである. 次の条件を満たす整式$A,\ B$を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $Aを2x^2-3x+1で割ると,\ 商が3x-1,\ 余りが5x+2となる.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $x^3-4x^2+6x+2をBで割ると,\ 商がx-1,\ 余りが2x+3となる.$ \\ 整式の割り算の問題では,\ \bm{割り算について成り立つ等式A=BQ+Rを作成する}のが基本となる. \\[1zh] (2)\ \ 等式を作成すると,\ 2x+3を移項した後,\ x-1で割ればBが求められるとわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ A=BQ+Rより,\ B=(A-R)\div Qというわけである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{A-RをQで割ると必ず割り切れ,\ その商がB}である.
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