部分分数分解と恒等式

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{1つの分数式を2つ以上の分数式の和・差に分解する式変形}}を\textbf{\textcolor{blue}{部分分数分解}}という. \\[.2zh]  入試では部分分数分解自体が問われることは稀である. \\[.2zh]  主に,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の積分計算問題を解く過程で部分分数分解が必要になる. \\[1zh]  部分分数分解の代表例が以下の3つであり,\ どのように分解できるかは覚えておく. \\[.2zh]  \textbf{\textcolor{forestgreen}{分母に$\bm{( )^n}$がある場合,\ $\bm{( )^1,\ ( )^2,\ \cdots\cdots,\ ( )^n}$に分解できる.}} }{分母が$\bm{n}$次式ならば分子は$\bm{n-1}$次以下の式になる.  (1)\ \ 両辺に$(x+2)(x+4)$を掛けて得られる等式も$x$についての恒等式である. \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{red}{両辺の係数を比較}すると両辺に$(x+2)(x+4)$を掛けて得られる等式も$x$についての恒等式である. 通分すると\,\bunsuu{2x+3}{(x+2)(x+4)}=\bunsuu{A(x+4)+B(x+2)}{(x+2)(x+4)}\,となるから,\ 後は分子が恒等式となればよい. \\[.8zh] 本解は\bm{係数比較法},\ 別解は\bm{数値代入法}により,\ 定数A,\ Bを定めている. \\[.2zh] 数値代入法では,\ 式が簡単になるx=-\,2,\ -\,4を代入した. \\[.2zh] 与式の分母が(x+2)(x+4)なのにx=-\,2,\ -\,4を代入してもよいのかと思ったかもしれない. \\[.2zh] \bm{代入したのはあくまでも\maru1}であり,\ 与式は関係ない. \\[.2zh] x=-\,2,\ -\,4の代入では必要条件に過ぎないので,\ 実際に両辺が一致するかを確認する(十分条件). \\[.2zh] こうして,\ どんなxの値についても成り立つ恒等式\ 2x+3=\bunsuu12(x+4)+\bunsuu52(x+2)\,が得られる. \\[.6zh] x\neqq-\,2,\ -\,4のとき,\ これの両辺を(x+2)(x+4)で割った式も恒等式となる. \\[.2zh] 問題で\,\bunsuu{2x+3}{(x+2)(x+4)}\,とあればx\neqq-\,2,\ -\,4が暗黙の了解なので,\ このときに成り立てばよい. \\\\ さて,\ \bm{応用問題では,\ 部分分数分解は過程ではなく結果のみが求められる場合が多い.} \\[.2zh] その場合,\ \bm{数値代入法が圧倒的に有利}である.\ 十分条件の確認が必要ないからである. \\[.2zh] 数値代入法で素早くA,\ Bを求め,\ 以下のように部分分数分解するとよい. \\[.2zh] 数値代入法をさらに簡略化}}(結果だけでよい場合)\,のAを素早く求める方法を考える.$    以上を一般化すると以下となる.  (2)\ \ 両辺に$(x+1)^2$を掛けて得られる等式も$x$についての恒等式である. 実戦での利用度が高い数値代入法での解法を示す.\ まず,\ x=-\,1の代入で素早くBを求められる. \\[.2zh] Bだけが消えるようなxの値は存在しないので,\ 簡単なx=0を代入してAを求めた. \\[.2zh] 実は,\ 本問は係数比較法の方が速い.  (右辺)=Ax+A+Bより A=5,\ A+B=3 \\[1zh] Aを求めるだけならば,\ \bm{恒等式は微分(後に学習)しても恒等式である}ことも利用できる. \\[.2zh] 5x+3=A(x+1)+B\ の\bm{両辺をxで微分}すると \bm{5=A} \\[1zh] 部分分数分解すると   (3)\ \ \scalebox{.95}[1]{両辺に$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$を掛けて得られる等式も$x$についての恒等式である. 簡単に求まる文字から求め,\ その結果を代入しつつ他の文字を求めるとよい. \\[.2zh] まず,\ x=1を代入すると直ちにAが求まる. \\[.2zh] 次に,\ A=2,\ x=0を代入するとCが求める. \\[.2zh] 後はA=2,\ C=1と簡単なxの値を代入してBを求めればよい. \\[1zh]
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