分数式の重要変形③:部分分数分解の基本と瞬殺する裏技

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partial-fraction-decomposition
分子の次数)(分母の次数)$ならば,\ まず分子の次数を下げる.  その上で,\ 分母が因数分解される場合,\ 部分分数分解ができる.  まず,\ どのように分解できるかを覚えておく必要がある.  基本的には因数ごとに分解すればよいが,\ 累乗がある場合に注意する. 分子は必ず分母より次数が低くなる.}    右辺を通分すると 恒等式の基本だが面倒}係数比較}{数値代入法 [必要条件だけで未知数を特定する}] 部分分数分解の結果だけでよい場合は,\ よりもが便利である. xで整理せずとも,\ {一方の文字が0になるような値を両辺のxに代入}すればよい. 途中過程が要求される場合,\ の方法だと十分性の確認が必要になる. その場合は,\ の方法が結局は速いだろう. 数値代入法をさらに簡略化 [ヘビサイドの方法を参考にしたもの}] のAを素早く求める方法を考える.$   両辺に$x+2を掛けてみると   この方法で,\ 本問の部分分数分解の瞬殺が可能になる.    数値代入法でA,\ Bを求める方法を示す. と同様,\ まず通分して分子を取り出す. x=-1を代入し,\ 素早くBを求めることができる. とは違い,\ 本問の場合はうまくBが消えるようなxは存在しない. そこで,\ 簡単な値を適当に代入して求める.\ 0でよいだろう. 実は,\ {恒等式は微分しても恒等式である}ことを用いるとさらに速い. 5x+3=A(x+1)+B\ の{両辺をxで微分}すると {5=A} 簡単に求まる文字から求め,\ その結果を代入しつつ,\ 他の文字も求める. まず,\ x=1を代入することで,\ B,\ Cが消え,\ 素早くAが求められる. 次に,\ x=0を代入することで,\ Bを消去できる. 既に求まっているAを代入しつつBを消去し,\ Cを求める. 後は適当に簡単な値を代入してBを求めればよい. x=-1とすると符号の扱いが厄介そうだったため,\ ここではx=2を代入した.
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