分数式の加法と減法(部分分数分解)

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2つの分数式の和・差は,\ 通分して1つの分数式にすることができた. \\[.5zh]  これを逆に行えば,\ \textbf{\textcolor{red}{1つの分数式を2つの分数式に分解する}}ことができる. \\[.2zh]  このような式変形を\textbf{\textcolor{blue}{部分分数分解}}という. \\\\  部分分数分解については,\ 後により複雑で一般化したものを扱う. \\[.2zh]  本項で扱うのは,\ 最も基本的な部分分数分解である.\ まずはその基本公式を示す 証明は容易で,\ 右辺を変形して左辺を導けばよい. 高校数学で重要なのは,\ \bm{左辺を右辺に変形できるか}である. \\[.2zh] 最も確実なのは,\ 公式として覚えてしまうことである. \\[.2zh] 間に-を入れて\,\bunsuu{1}{B-A}\,を掛けるだけなので覚えにくい公式ではない. \\\\ 中級者以上は以下のような思考で変形できるので,\ 参考書などでは公式として扱われていない. \\[.2zh] まず,\ \bunsuu{1}{AB}\,を\,\bunsuu1A-\bunsuu1B\,に分割する. \\[.8zh] これだけでは\,\bunsuu1A-\bunsuu1B=\bunsuu{B-A}{AB}\,になってしまうので,\ \bunsuu{1}{B-A}\,をかけてつじつまを合わせる. (1)\ \ \bm{分子が定数かつ分母の2つの因数の差が一定である分数式の和は,\ 部分分数分解して求める.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ まず,\ A=2x+1,\ B=2x+3として公式を適用する. \phantom{(1)}\ \ 残りの2つの項も同様に部分分数分解する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ すると,\ \bm{中央の項が全て消え,\ 最初と最後の項だけが残る}ので,\ 後はこれを通分して計算する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このような和は数\text Bや数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}のある種の問題でよく登場する.\ 今のうちに慣れておいてほしい. 他の項も同様である.
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