分数式の加法と減法(部分分数分解)

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2つの分数式の和・差は,\ 通分して1つの分数式にすることができた.  これを逆に行えば,\ 1つの分数式を2つの分数式に分解することができる.  このような式変形を部分分数分解という.  部分分数分解については,\ 後により複雑で一般化したものを扱う.  本項で扱うのは,\ 最も基本的な部分分数分解である.\ まずはその基本公式を示す 証明は容易で,\ 右辺を変形して左辺を導けばよい. 高校数学で重要なのは,\ 左辺を右辺に変形できるか}である. 最も確実なのは,\ 公式として覚えてしまうことである. 間に-を入れて\,1}{B-A}\,を掛けるだけなので覚えにくい公式ではない. 中級者以上は以下のような思考で変形できるので,\ 参考書などでは公式として扱われていない. まず,\ 1}{AB}\,を\,1A-1B\,に分割する. これだけでは\,1A-1B=B-A}{AB}\,になってしまうので,\ 1}{B-A}\,をかけてつじつまを合わせる. (1)\ \ 分子が定数かつ分母の2つの因数の差が一定である分数式の和は,\ 部分分数分解して求める.} \ \ まず,\ A=2x+1,\ B=2x+3として公式を適用する. \ \ 残りの2つの項も同様に部分分数分解する. \ \ すると,\ 中央の項が全て消え,\ 最初と最後の項だけが残る}ので,\ 後はこれを通分して計算する. \ \ このような和は数 Bや数III}のある種の問題でよく登場する.\ 今のうちに慣れておいてほしい. 他の項も同様である.