二項定理の応用(累乗数の余りと下位桁)

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400で割ったときの余りが0であるから無視してよい. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ 下線部は,\ 下位5桁が00000であるから無視してよい. (1)\ \ 400=20^2\,であることに着目し,\ \bm{19=20-1として二項展開する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 下線部の項はすべて20^2\,を含むので,\ 下線部は400で割り切れる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ それ以外の部分を400で割ったときの余りを求めることになる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 計算すると-519となるが,\ 余りを答えるときは以下の点に注意が必要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 整数の割り算において,\ 整数aを整数bで割ったときの商をq,\ 余りをrとする. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ \bm{a=bq+r\)}\ が成り立つ.=”” \\[.2zh]=”” \phantom{(1)}\=”” \=”” つまり,\=”” b=”400で割ったときの余りrは,\” 0\leqq=”” r<400を満たす整数で答えなければならない.="" よって,\="" -\,519="400(-\,1)-119だからといって余りを-119と答えるのは誤りである." r<400を満たすように整数qを調整すると,\="" \bm{-\,519="400(-\,2)+281}\,となる." \\[1zh]="" (2)\="" \bm{下位5桁は100000で割ったときの余り}のことであるから,\="" 本質的に(1)と同じである.="" 100000="10^5であることに着目し,\" \bm{99="100-1として二項展開する.}" 100^3="1000000であるから,\" 下線部は下位5桁に影響しない.="" それ以外の部分を実際に計算し,\="" 下位5桁を答えればよい.="" \\[.2zh]<="" div="">
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