二項係数nCrの等式とパスカルの三角形

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pascal-triangle
次のような規則で数を配置したものをパスカルの三角形という.  最上段は1で,\ 各位置の数は,\ 右上の数と左上の数の和である.  最も重要な特徴は,\ ${(x+y)^nの係数を並べたものとなっていることである.$    よって,\ パスカルの三角形は,\ 二項係数を並べたものとみることもできる.  このことを知っておくと,\ 特定の二項係数の等式を理解しやすくなる. パスカルの三角形は他にも様々な性質をもつ. 例えば,\ 左右のパスカルの三角形を横に足してみよう. 3段目は 1+2+1=4=2²=C20+C21+C22 4段目は 1+3+3+1=8=2³=C30+C31+C32+C33 5段目は 1+4+6+4+1=16=2⁴=C40+C41+C42+C43+C44 一般的に,C n0+C n1++C nn=2^nの関係が成り立ちそうである. これに関しては,\ 次の項目で取り扱う. 組合せの考え方を利用]n+1人の生徒からr人の代表を選ぶ}ときの場合の数は  $特定の1人(A}君)に着目してn+1人から代表r人を選ぶ}ことを考える.$  $A}君を選ぶ場合と選ばない場合があり,\ 互いに排反である.$  $A}君を選ばない}とき,\ A}君以外のn人からr人選ぶ}場合の数は \ C nr}$  $A}君を選ぶ}とき,\ A}君以外のn人からr-1人を選ぶ}場合の数は 複雑な右辺を変形して左辺を導く. 階乗の形で表して通分するだけだが,\ 階乗に慣れていないとかなり厳しい. をそれぞれ通分した. この等式に関しては,\ 別解の{組合せによる意味づけ}のほうが重要である. どのような意味づけが成されるかをよく確認しておいて欲しい. 本問の等式の具体例を挙げると {パスカルの三角形}でこの関係を確認してみてほしい.\ 当然の関係とわかる. 組合せの考え方を利用]  $生徒n人からr人の代表を選び,\ そこから主将を選ぶ}ことを考える.$  $このとき,\ 次の2つの方法が考えられる.$  $先にn人から代表r人を選び,\ その後r人の代表の中から主将を選ぶ.}$ { }$そのときの場合の数は C nr r}$  $先に主将1人を選び,\ その後残りのr-1人の代表をn-1人から選ぶ.}$ そのときの場合の数は 本問は,\ 階乗で表して式計算する証明も別解の証明も両方重要である. あらかじめ{右辺を階乗の形で表しておき,\ それを目指して左辺を変形}していく. この等式は,\ 特定の応用問題の中で利用できるから覚えておきたい. 組合せによる意味づけを理解していると,\ 丸暗記せずともその都度作成できる. また,\ 大学では\ C nr\ を\ \retube{n}{r}\ と表す場合がある. この表現を用いて,\ \retube{n}{r}= nr\retube{n-1}{r-1}\ ととらえると覚えやすいかもしれない. さらに,\ rをr+1置換すると,\ {C nr\ が階差の形で表される.} これの和であるから,\ {階差を利用して求める数列の和の問題に帰着}する. 階差の和は,\ {各項をすべて書き出すと途中がうまく打ち消し合う}ことで求まる. どの項とどの項が打ち消し合うかを慎重に判断しよう. 抽象的でわかりにくいので,\ 例として\ 変形の過程が,\ {パスカルの三角形とどう対応するか}を考えるとよりわかりやすい.
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