本項目は数B：数列の数学的帰納法を学習済みであることを前提としています。
また、上級者用ですので基本的にはスルーしてかまいません。
$(相加平均)≧(相乗平均)\ は,\ n変数においても成立する.$ \
高校数学の範囲でも証明方法は複数あるが,\ ここでは数学的帰納法を用いた証明を示す.
ただし,\ 数Bで学習する普通の数学的帰納法とは少し異なる運用の仕方となる.
\,特殊な数学的帰納法\,
$よって,\ n=2kのときも成り立つ.$
ここまでが証明の前半部分であり,\ n=kが成り立つときn=2kが成り立つ}ことが示された.
n=2が成り立てばn=4も成り立つ,\ n=4が成り立てばn=8も成り立つということである.
つまり,\ n=2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ ･･････\ のときに成り立つことが示されたことになる.
解答は抽象的でわかりづらいので,\ n=4とn=8の具体例を示す.\ 以下を一般化すればよ
平行して等号成立条件も証明できる.\ n=2のときの等号成立条件はa_1=a_2\,である.
n=kのときの等号成立条件がa_1=a_2=･･･=a_k\,であると仮定する.
n=2kのときの等号成立条件は,\ 3ヶ所で相加相乗を利用していることを考慮すると
両辺をk乗}して{両辺をk-1乗根}して すべての自然数nについて成立する
n=2,\ 4,\ 8,\ 16,\ ･･･\ は既に示されているので,\ 後は間のn=3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10,\ ･･･\ を示せばよい.
そのため,\ n=kが成り立つときn=k-1も成り立つことを証明する.}
n=8が成り立てばn=7も成り立ち,\ するとn=6も,\ さらにn=5も成り立つことになる.
具体例としてn=8を利用するn=7の証明を示す.\ これを一般化すると上の解答になる. \
両辺を8乗すると
両辺を7乗根すると
等号成立条件は .
