次のような規則で数を配置したものをパスカルの三角形という.
最上段と両端は1で,\ 各位置の数は右上の数と左上の数の和である. \\
これの最も重要な性質は,\ $(x+y)^n\,の係数を並べたものとなっていることである.${(x+y)^n\,の第r+1項目の係数は\ C nr\ であった.$
よって,\ パスカルの三角形は二項係数を並べたものとみることもできる(右上).
このことを知っていると,\ 特定の二項係数の等式を理解しやすくなる. \
パスカルの三角形は他にも様々な性質をもつ.
例えば,\ 左右のパスカルの三角形を段ごとに足してみよう.
3段目 1+2+1=C20+C21+C22=4=2^2
4段目 1+3+3+1=C30+C31+C32+C33=8=2^3
5段目 1+4+6+4+1=C40+C41+C42+C43+C44=16=2^4
これらは,\ 前項で証明した\ C n0+C n1+･･････+C nn=2^n\ の特殊な場合である.
[\,組合せの考え方を利用\,}{n+1人の生徒からr人の代表を選ぶ}ときの場合の数は C{n+1}{r$
一方,\ $特定の1人(A}君)に着目してn+1人からr人の代表を選ぶ}ことを考える.$
$A}君を代表に選ぶ場合と選ばない場合があり,\ 互いに排反である.$
$A}君を代表に選ばない}とき,\ A}君以外のn人から代表r人を選ぶ}場合の数は C nr}$
$A}君を代表に選ぶ}とき,\ A}君以外のn人から代表r-1人を選ぶ}場合の数は
複雑な右辺を変形して左辺を導くとよい.
階乗の形で表して通分するだけだが,\ 階乗に扱いに慣れていないと厳しい.
また,\ n-r+1=(n-r)+1より,\ (n-r)!\,と(n-r+1)!\,は(n-r+1)!\,で通分できる.
後は最終目標である\,C{n+1}{r}=(n+1)!}{r!(n+1-r)!}\,に向かって変形していけばよい.
具体例として,\ n=7,\ r=3の場合の\,\ を示しておく.
3!\,と2!,\ 4!\,と5!\,をそれぞれ通分していることに注意してほしい.
実は,\ この等式に関しては組合せによる意味づけのほうが重要}である(別解).
パスカルの三角形における\,C{n+1}{r},\ C nr,\ C{n}{r-1}\,の位置関係}が右である.
こう見ると,\ C{n+1}{r}=C nr+C{n}{r-1}\ (パスカルの等式)はほぼ自明の関係である. \\[-5zh]
前項の\,C n0+C n1+･･･+C nn=2^n\,は,\ C nr\,のnが一定でrが変化するときの和である.
本問は,\ C nr\,のrが一定でnがが変化するときの和}である.
等式\,C{n+1}{r}=C nr+C{n}{r-1}\,を利用して証明することができる.
まず,\ C{n}{r-1}=C{n+1}{r}-C nr\ と変形する.
さらに,\ rをr+1に置き換えると,\ C nr\,を階差の形で表す}ことができる.
階差の形とは,\ f(n+1)-f(n)のようなn+1番目の項とn番目の項の差の形のことである.
階差の形のメリットは,\ 各項をすべて書き出すと中央が消えて和を求められる}ことである.
実際,\ n=1からの和をすべて書き出すと,\ 次のようにして和が求まる.
どの項とどの項が打ち消し合うかを慎重に判断する必要がある.
r≦ n-1よりn≧ r+1であるから,\ C rr\,はそのままで,\ C{r+1}{r}\,以降の項に等式を適用する.}
最後に残った項を整理すると\,C{n+1}{r+1}\,となり,\ 証明される.
階差の利用は,\ 数 B:数列で学習後は頻出する和の求め方で,\ 本問はその一種である.
初見ではかなり難しく感じる人も多いと思われるので,\ 数 B学習後にもう一度見直すとよい.
抽象的でわかりにくいので,\ 例として
等式がパスカルの三角形においてくの字型の配置になっている}ことを確認しておいてほしい.
また,\ パスカルの三角形を元に逆に\,C63\,から遡っていくと次のようになる
