pascal-triangle

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次のような規則で数を配置したものをパスカルの三角形という. \\  最上段は1で,\ \textbf{\textcolor{cyan}{各位置の数は,\ 右上の数と左上の数の和}}である. \\  最も重要な特徴は,\ $\bm{\textcolor{red}{(x+y)^n\,の係数を並べたもの}}となっていることである.$ \\\\    よって,\ パスカルの三角形は,\ \textbf{\textcolor{red}{二項係数を並べたもの}}とみることもできる. \\  このことを知っておくと,\ 特定の二項係数の等式を理解しやすくなる. パスカルの三角形は他にも様々な性質をもつ. \\ 例えば,\ 左右のパスカルの三角形を横に足してみよう. \\ 3段目は 1+2+1=4=2^2=\kumiawase20+\kumiawase21+\kumiawase22 \\ 4段目は 1+3+3+1=8=2^3=\kumiawase30+\kumiawase31+\kumiawase32+\kumiawase33 \\ 5段目は 1+4+6+4+1=16=2^4=\kumiawase40+\kumiawase41+\kumiawase42+\kumiawase43+\kumiawase44 \\ 一般的に,\ \ \kumiawase n0+\kumiawase n1+\cdots\cdots+\kumiawase nn=2^n\ \ の関係が成り立ちそうである. \\ これに関しては,\ 次の項目で取り扱う. 組合せの考え方を利用}}]n+1人の生徒からr人の代表を選ぶ}ときの場合の数は  $\textcolor{red}{特定の1人(\text{A}君)に着目してn+1人から代表r人を選ぶ}ことを考える.$ \\  $\text{A}君を選ぶ場合と選ばない場合があり,\ 互いに排反である.$ \\[.5zh]  $\textcolor{red}{\text{A}君を選ばない}とき,\ \textcolor{cyan}{\text{A}君以外のn人からr人選ぶ}場合の数は \ \,\,\textcolor{red}{\kumiawase nr}$ \\[.2zh]  $\textcolor{red}{\text{A}君を選ぶ}とき,\ \textcolor{cyan}{\text{A}君以外のn人からr-1人を選ぶ}場合の数は 複雑な右辺を変形して左辺を導く. \\ 階乗の形で表して通分するだけだが,\ 階乗に慣れていないとかなり厳しい. をそれぞれ通分した. \\[1zh] この等式に関しては,\ 別解の\bm{組合せによる意味づけ}のほうが重要である. \\ どのような意味づけが成されるかをよく確認しておいて欲しい. \\[1zh] 本問の等式の具体例を挙げると \bm{パスカルの三角形}でこの関係を確認してみてほしい.\ 当然の関係とわかる. \\ 組合せの考え方を利用}}] \\[.5zh]  $\textcolor{red}{生徒n人からr人の代表を選び,\ そこから主将を選ぶ}ことを考える.$ \\  $このとき,\ 次の2つの方法が考えられる.$ \\[1zh]  (1)\ \ $\textcolor{cyan}{先にn人から代表r人を選び,\ その後r人の代表の中から主将を選ぶ.}$ \\ \phantom{ (1)}\ \ $そのときの場合の数は \textcolor{red}{\kumiawase nr\cdot r}$ \\[1zh]  (2)\ \ $\textcolor{magenta}{先に主将1人を選び,\ その後残りのr-1人の代表をn-1人から選ぶ.}$ そのときの場合の数は 本問は,\ 階乗で表して式計算する証明も別解の証明も両方重要である. \\ あらかじめ\bm{右辺を階乗の形で表しておき,\ それを目指して左辺を変形}していく. \\ この等式は,\ 特定の応用問題の中で利用できるから覚えておきたい. \\ 組合せによる意味づけを理解していると,\ 丸暗記せずともその都度作成できる. \\ また,\ 大学では\ \kumiawase nr\ を\ \retube{n}{r}\ と表す場合がある. \\ この表現を用いて,\ \retube{n}{r}=\bunsuu nr\retube{n-1}{r-1}\ ととらえると覚えやすいかもしれない. さらに,\ rをr+1置換すると,\ \bm{\kumiawase nr\ が階差の形で表される.} \\ これの和であるから,\ \bm{階差を利用して求める数列の和の問題に帰着}する. \\ 階差の和は,\ \bm{各項をすべて書き出すと途中がうまく打ち消し合う}ことで求まる. \\ どの項とどの項が打ち消し合うかを慎重に判断しよう. \\[1zh] 抽象的でわかりにくいので,\ 例として\ 変形の過程が,\ \bm{パスカルの三角形とどう対応するか}を考えるとよりわかりやすい.