binomial-coefficient-equality

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自然数nに対して,\ 次の等式が成り立つことを示せ.$ \\[1zh] \bm{(1+x)^n\,の二項展開式から,\ 様々な二項係数の等式を得る}ことができる. \\ \bm{二項係数の和を見かけた場合,\ 二項定理を思い浮かべる}ことが重要である. \\ これらの等式を暗記する必要はない.\ 二項定理から導けるようにしておこう. \\[1zh] \kumiawase nr\,のrが増えるにつれて次数が増えるよう,\ (x+1)^n\,ではなく,\ (1+x)^n\,とする. \\ (1),\ (2)は,\ (1+x)^n\,の展開式と問題の式を見比べ,\ 適切な値を代入すればよい. \\ 二項係数の和が2^n\,や0という簡潔な値で表されることがわかる. \\ 言うなれば,\ 二項展開の逆「二項因数分解(造語)」である. \\ x=2を代入すると,\ 3^n=\kumiawase n0+2\kumiawase n1+2^2\kumiawase n2+\cdots\cdots+2^n\kumiawase nn\ なども得られる. \\[1zh] (3)が,\ \bm{(1)と(2)の和と差をとって得られる}ことは覚えておきたい. 両辺を微分}すると$ \\[.5zh] (1+x)^n\ の展開式を微分・積分(\text{数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I})することでも様々な等式が得られる. \\ 本問の等式は最も単純なで,\ \bm{両辺を1回微分した後x=1を代入}して得られる. \\[1zh] 微分・積分による方法は極めて簡潔だが,\ \text{数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の知識を要する. \\ 微分・積分を用いない別解として,\ 等式\ r\kumiawase nr=n\kumiawase{n-1}{r-1}\ を利用する方法がある. \ に対して等式を適用すると,\ nがくくり出せる.} 括弧内は,\\ の右辺と類似している. \\ よく見比べると,\ \bm{両辺のnをn-1とすればよい}ことがわかる. \\ \bm{rは変数,\ nは定数}である.\ r\kumiawase nr\ は変数rが2箇所に散らばっており,\ 扱いにくい. \\ ここに,\ 等式\ \bm{r\kumiawase nr=n\kumiawase{n-1}{r-1}\ の意義}がある. \\ 等式の適用で,\ \bm{2箇所に散らばっていた変数rを1箇所に集める}ことができる. \\ その結果,\ 定数nがくくり出せて,\ 基本的な二項係数の和に帰着したわけである. \\ ちなみに,\ 平方完成や三角関数の合成も変数を1箇所に集めるための変形である. \\ \retuwa{}{}に慣れた人ならば,\と書くと意義がよくわかるだろう. 区間\,[0,\ 1]\,で定積分}すると$ \\[.5zh] \bm{両辺を区間\,[0,\ 1]\,で定積分して得られる}最も単純な等式である. \\ 問題によっては,\ どの区間で積分するかを考える必要が出てくる. \\[1zh] 積分を使わない場合,\ 等式\ r\kumiawase nr=n\kumiawase{n-1}{r-1}\ を用いる. \\ 微分の場合と同様,\ \bm{変数rの散らばりを減らす方向で変形}することを考える. \\ 解答のように分数の形にし,\ さらにnをn+1とすると,\ \bunsuu{\kumiawase{n}{r-1}}{r}\ の形ができる. \\ これを\ \bunsuu{\kumiawase{n+1}{r}}{n+1}\ とすると,\ 変数rが1箇所に集められることになる. \\ 各項に適用すると,\ \bunsuu{1}{n+1}\ がくくり出せ,\ 単純な二項係数の和に帰着する. \\ 分子は,\ と類似している. \\ \bm{両辺のnをn+1}として\maru{\text{A}}が得られるが,\ 完全には一致しない. \\ \bm{\kumiawase{n+1}{0}(=1)\,を右辺に移項}すると完全に一致する. (1+x)^n(x+1)^n=(1+x)^{2n}\ を利用し,\ 次の等式が成り立つことを示せ.$ \\[.8zh]  $(1+x)^n(x+1)^n\ を二項展開すると$ \\[.5zh]  $展開したときの\textcolor{red}{x^nの係数}は    $(1+x)^{2n}\,を二項展開したときの\textcolor{red}{x^n\,の係数}は できれば誘導も含めて導き方を覚えておきたい等式である. \\ \bm{両辺のx^n\,の係数を比較して導く}ことができる. \\ 展開してx^n\,となるのは