arithmetic-geometric-induction

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(相加平均)\geqq(相乗平均)\ は,\ n変数においても成立する.$ \\[1zh] 特殊な数学的帰納法}}]n=2^m\ (m:自然数)} 先に,\ \bm{すべての\ n=2^m\ のときに成立することを数学的帰納法で証明}する. \\ つまり,\ n=2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \cdots\ のときに成立することを示す. \\ 2の累乗の場合は,\ \bm{n=4\ の場合を示す方法を真似ると容易に示せる}からである. \\[1zh] 例として,\ n=8\ の場合を示しておく.\ これを一般化したものが上の解答である. \\[.5zh] \bm{すべての自然数nについて成立する.}$} \\\\[.5zh] n=2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \cdots\ の場合はすでに示されている. \\ 後は,\ その間のn=3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10,\ \cdots\ の場合を示す. \\[1zh] 先に,\ n=6の場合を例として示す.\ これを一般化したものが上の解答である. 両辺を8乗すると 両辺を6乗根すると 8よりも2小さいn=6の場合と同様にして,\ \bm{2^m\,よりk小さい場合}を示せばよい. \\ n=2^m\,の式で,\ a_{n+1}からa_{2^m}まで(k個)をすべて\ \bunsuu{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ に置換する. 後は,\ 両辺を2^m\,乗\ →\ 両辺を\left(\bunsuu{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)^k\ で割る\ →\ 両辺をn乗根 \ すべてのn=2^m\,の場合が示され,\ さらにすべての\ n=2^m-k\ の場合が示された. \\ つまり,\ n=4を基点にn=3を,\ n=8を基点にn=5,\ 6,\ 7を示したことになる. \\ 文字により一般化されているから,\ これですべての自然数nについて示された. \\