相加平均と相乗平均の関係の最大最小問題への応用パターン

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この問題で,\ {よくある間違い}が次である. 最小値\ 8 不等式自体は成立するが,\ これで最小値が8とまではいえない. 等号成立は\ x=1y\ かつ\ y=4xのときだが,\ {これを満たすx,\ yが存在しない}からである. {相加相乗を複数使った場合,\ 全ての等号が同時に成立する必要があるのである.} 最小値は {4}$} { $[l} {根号内が定数になるようあらかじめ調整}しておくと,\ 相加相乗が意味を持つ. x+2={9}{x+2},\ x素早く解けない人が意外に多い.\ {展開しない}ように. {根号内が定数になるような巧みな変形}で,\ 相加相乗で最小値が求まる. 経験がないと思いつくのは難しいだろう. 結局,\ 3変数の相加相乗を用いることになる. { $[l} {指数関数は自動的に正数}なので,\ 等の条件がなくても相加相乗が使える. 最小値 相加相乗が利用できそうではあるが,\保証する条件がない. そこで,\ {平方完成してみる}と,\ x²+x+1がわかり,\ 相加相乗が適用できる. {分母分子をxで割り,\ 変数を分母に集める}と,\ 相加相乗が適用できる形が現れる. 相加相乗で,\ 分母の最小値が求まるので,\ 結局{全体の最大値が求まる}ことになる. もしかすると,\ 最初の変形が少し技巧的に感じられるかもしれない. しかし,\ {「変数を1ヶ所に集める」}という考え方に立てば,\ 自然な変形である. 変数のばらつきを少なくすることは,\ 高校数学全般において重要である. 実際,\ 平方完成・三角関数の合成・定数分離等も同様の考え方を持つ変形である. 分母分子をx+2で割り,\ {変数を分母に集める.} さらに,\ 根号内が定数になるよう調整すると,\ 相加相乗が使える. このように,\ 1次式}{2次式}を変形して相加相乗を使わせるパターン}をよく見かける. $縦の長さをx,\ 横の長さをyとすると 2x+2y=16 より x+y=8$ 面積の最大値は\ {和x+y=(定数)のもと,\ 積xyの最大値を求める}ので,\ 相加相乗を考える. 結局,\ 正方形になるとき,\ 面積が最大となる.
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