三角不等式 |x|-|y|≦|x+y|≦|x|+|y| の証明

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などを三角不等式ということも多いが,\ これは三角関数の不等式である. 三角不等式という名前は,\ 三角形の成立条件に由来する. は,\ 絶対値つき不等式の証明の基本どおり,\ 2乗して差をとる. {常に\ xy} xy}\ ( となるはずはない)\ より,\ 0以上であることが示される. も2乗して差をとってもよいが,\ を利用すると簡潔に示せる. において,\ {x\ →\ x+y,y\ →\ -y\ と置き換えればよい}のである. は{を2回適用}するだけである. 同様に繰り返せば,\ {n項についても一般的に成立する}ことが容易に示される. 等号成立条件はいずれも厄介である. は,\ {同値関係「A}=AA0」}を用いる. は,\ {等号が2回とも成立}しなければならない. つ目の等号成立  $(等号成立は,\ 1つ目はx=0\ or\ y=0,\ 2つ目はx+y=0\ or\ z=0より,\ x,\ y,\ zの少なくとも2個が0) 三角不等式は,\ 応用問題の中では証明なしで使用できる.
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