多項定理 (a+b+c)nの展開式の係数

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二項定理をさらに一般化し,\ 三項以上にまで拡張する.  二項定理では,\ 「組合せ」の考え方を用いて\ $(a+b)^n$の展開式を得た.  同様に考えても拡張は可能だが,\ 式が複雑になってしまうので別の考え方でアプローチする.  例として,\ $(a+b)^3$における$a^2b$の項の係数を考える.\ 組合せの考え方では$C 31$であった.  一方,\ $a^2bが何個できるかは,\ a\,2個とb\,1個の並べ方の総数とも一致する.$  実際,\ $aab,\ aba,\ baa$の3通りがある.  これは,\ 「同じものを含む順列}」}に他ならない.\ よって,\ $3!}{2!1!}=3}$と求められる.  この「同じものを含む順列」の考え方を用いると,\ 容易に三項以上にまで一般化できる.  $(a+b+c)^n$の展開式の$a^pb^qc^r$の項の係数を考えよう.  この項は,\ $n個の因数からaをp個,\ bをq個,\ cをr個選んで作られる.$  その係数は,\ $aをp個,\ bをq個,\ cをr個並べたときの総数}\ 最後に数 Aの場合の数分野で学習した「同じものを含む順列」の考え方を簡単におさらいする. 計5個の○○○△△の並べ方を総数を求めるとする. ○も△も一旦すべて別物とみなす}と,\ 並べ方の総数は 5! ところが,\ 実際には○3個と△2個はそれぞれ区別できない(同じものである). ○3個の並べ方の総数3! と△2個の並べ方の総数2! で割ると 5!}{3!2!} 一旦区別できるものとして並べ,\ 後から区別できない分の並べ方で割って調整する}わけである. 二項定理ではC}を用いた表現が簡潔だったが,\ 項数が増えると逆にわかりにくくなる. 例として,\ (a+b+c+d)^n\ のa^pb^qc^rd^s\ の項の係数をC}で表現してみよう. 係数は,\ n個の因数からaをp個,\ bをq個,\ cをr個,\ dをs個選ぶときの場合の数である. n個からp個選び,\ 残りのn-p個からq個選び,\ 残りのn-p-q個からr個選ぶことになる. よって,\ C np×C {n-p}{q}×C{n-p-q}{r}\ となるわけだが,\ 非常にわかりにくい. 「同じものを含む順列」の考え方を用いると,\ 階乗の形で\ n!}{p! q! r! s!}\ と簡潔に表せるわけである. (1)\ \ 8個の因数から,\ x,\ -2y,\ 3zをそれぞれ4個,\ 2個,\ 2個選べばよいことはすぐにわかる. のみの記述で即答してもよいが,\ 一般項から記述すると丁寧である. (2)\ \ 何個ずつ選べばx^3\,の項になるかはぱっと見ではわからない. \ \ 一般項を立式し,\ 数式的に確実に求める}べきである. \ \ xの部分は指数法則\ (a^m)^n=a^{mn},\ \ a^m× a^n=a^{m+n},\ \ a^m÷ a^n=a^{m-n}\ を用いて計算する. \ \ 後は,\ p+q+r=5\ かつ\ 2p+q-r=3\ を満たす0以上の整数p,\ q,\ rの組を探す.} \ \ とりあえず2式からrを消去すると,\ 3p+2q=8となる. \ \ これを満たす0以上の整数p,\ qの組は(p,\ q)=(2,\ 1),\ (0,\ 4)のみである. \ \ p≧3のとき3p≧9となってしまうし,\ p=1のときqは整数にならないからである. \ \ 各(p,\ q,\ r)のときの係数の和が最終的な答えである.\ なお,\ 0!=1\ とする決まりである.