polynominal-theorem

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二項定理では,\ 「組合せ」の考え方を用いて\ (a+b)^3\ の展開式が得られた.$ \\  $多項定理に一般化するには,\ 別の考え方が必要になる.$ \\[1zh]  $例として,\ (a+b)^3\ のa^2bの係数を考える.\ 組合せで考えると,\ \kumiawase 31\ であった.$ \\  $一方,\ a^2bが何個できるかは,\ a\,2個とb\,1個の並べ方の総数とも一致}}する.$ \\  $実際,\ aab,\ aba,\ baa\ の3通りがある.同じものを含む順列}」}に他ならず,  $「同じものを含む順列」の考え方ならば,\ 直ちに多項定理に一般化できる.$ \\  $(a+b+c)^n\ の展開式の\ a^pb^qc^r\ の項の係数を考える.$ \\  $この項は,\ n個の因数から\ aをp個,\ bをq個,\ cをr個\ 選んで作られる.$ \\  $係数は,\をp個,\ bをq個,\ cをr個\ 並べたときの総数}\ 二項定理では,\ \text{C}を用いて表現すると,\ 意味がわかりやすく,\ 簡潔だった. \\ しかし,\ 項数が増えると,\ \text{C}を用いた表現は逆にわかりにくくなる. \\ 例として,\ (a+b+c+d)^n\ のa^pb^qc^rd^s\ の項の係数を考える. \\ n個の因数からaをp個,\ bをq個,\ cをr個,\ dをs個選ぶときの場合の数は \\ (n個からp個選び,\ 残りのn-p個からq個選び,\ \cdots) \\ このように複数の\text{C}の積となり,\ 非常にわかりにくい. \\ 「同じものを含む順列」で考えると,\ 階乗の形で\ \bunsuu{n\kaizyou}{p\kaizyou q\kaizyou r\kaizyou s\kaizyou}\ と表せる. \\[1.5zh] \bm{「同じものを含む順列」の考え方}は,\ ここでは最低限の説明に留めておく. \\ 計5個の○○○△△の並べ方を総数を求めるとする. \\ \bm{一旦すべて別物とみなす}と,\ 並べ方の総数は 5\kaizyou \\ ところが,\ 実際には○3個と△2個はそれぞれ区別できない(同じものである). \\ 区別できないものを区別できるものとして並べたのであるから,\ 調整が必要である. \\ 3個の並べ方の総数3\kaizyou と2個の並べ方の総数2\kaizyou で割ると \bm{一旦区別できるものとして並べ,\ 後から区別できない分を割る}わけである. $(x-2y+3z)^8\ のx^4y^2z^2\ の項の係数を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $(x^2-3x+2)^{10}\ のx^5\ の項の係数を求めよ.$ \\ 8個の因数から,\ x,\ -2y,\ 3zを4個,\ 2個,\ 2個選べばよいのはほぼ明らかである. \\ しかし,\ 応用性を考え,\ 一般項から記述した解答にした. (1)のように,\ 何個選べばx^5になるかというのは単純にはわからない. \\ \bm{一般項を文字で表し,\ 数式で厳密に求める}必要がある. \\ p+q+r=10\ かつ\ 2p+q=5\ を満たす0以上10以下の整数の組を探せばよい. \\ まず,\ 2p+q=5\ のpに着目する(係数が大きい項は候補が少ないから). \\ p,\ qが0以上の整数であることを強烈に意識して特定する. \\ p\geqq3\ のとき,\ それだけで5を超えてしまうから不適である. \\ よって,\ \bm{p=0,\ 1,\ 2\ のいずれか}であり,\ 後は対応するq,\ rを順に求めればよい. \\ q=5-2p\geqq0\ より,\ p\leqq\bunsuu52\ と考えるのもよい. \\ いずれにしても,\ \bm{数式で思考し,\ x^5となる組合せを見落とさない}ことが重要だ. \\ なお,\ 0\kaizyou=1\ とする決まりである.