arithmetic-geometric

検索用コード
これは絶対的に成立する\textbf{\textcolor{blue}{絶対不等式}}の1つである. \\ 参考書によっては,\ 適用条件が\ a\geqq0,\ b\geqq0\ とされている. \\ この不等式は,\ a=b=0\ の場合も0\geqq0となり,\ 成立するからである. \\ \geqq は\underline{または}=」を意味するから,\ 0\geqq0は正しい不等式である. \\[1zh] a=0またはb=0のとき,\ 常にab=0となり,\ 相乗平均が意味を持たなくなる. \\ そこで,\ 普通としているのである.\ 実用上はどちらでもよい. \\[1zh] 証明を簡潔に示しておく.\ a=bのときに等号が成立することもわかる. \\ (左辺)^2-(右辺)^2=不等式の証明問題や最大・最小問題}}で利用できる. \\  うまくはまれば強力だが,\ 絶対不等式の適用には,\ \textbf{\textcolor{red}{落とし穴と限界}}がある. \\  その部分を認識しておくことが,\ 応用上重要である まず,\ \bm{公式の適用条件\\ を確認し,\ これを必ず断る.} \\ 等号成立の確認が必要か否か}}が(1)と(2)の違いである. \\  (1)は,\ \textbf{\textcolor{purple}{絶対的に2以上であることが公式適用で示された}}ので,\ これでよい. \\  しかし,\ (2)は,\ 公式適用だけでは\textbf{\textcolor{magenta}{2以上が示されるに\underline{すぎない}.}} \\\\  これが,\ \textbf{最大・最小問題で絶対不等式を使うときの\textcolor{red}{落とし穴}}になる. \\  「2以上」は,\ 「最小値2」をも意味するわけではないからである. \\  例えば,\ 最小値が100であったとしても,\ それは「2以上」である. \\\\  そこで(2)では,\ \textbf{\textcolor{magenta}{「最小値2」を示すため,\ 等号成立条件を調べた}}のである. \\  \textbf{\textcolor{magenta}{等号を成立させるような$\bm{x}$が1個でもあれば,\ 「最小値が2」が確定する.}} \\  $「x+\bunsuu1x\geqq2\ かつ\ x+\bunsuu1x=2\ となるxが存在する」\ →\ 「最小値2」である.$ \\\\  結局,\ \textbf{\textcolor{red}{絶対不等式で最大・最小を求める場合,\ 「等号の成立」の確認が要る.}} \\  単に不等式を証明すればよいだけの場合は,\ 指示されない限り必要ない. \\\\\\  次に,\ (3)を考える. (2)では,\ $x=1\ のとき最小値2が判明した.$ \\  これは,\ $x\geqq2$のときの最大・最小に関しては何も主張していない. \\  \textbf{\textcolor{red}{等号成立時の$\bm{x}$が範囲外になるとき,\ 相加相乗で最小値は求まらない.}} \\  また,\ \textbf{\textcolor{red}{最大値に関しても何もわからない.}} \\  「2以上」は,\ 「最大値なし」をも意味するわけではないからである. \\  例えば,\ 最大値が3であったとしても,\ それは「2以上」である. \\\\  これが\textbf{相加平均と相乗平均の関係の\textcolor{red}{限界}}である.\ 相加相乗は万能ではない. \\  (3)のような場合は,\ 別の方法で求めなければならないのである. \\  ちなみに,\ $最大値なし,\ 最小値\ \bunsuu52\ (x=2)だが,\ ここでは詳細を省略する.$ \\\\ \\  最大・最小問題で相加相乗を用いる場合には,\ さらに\textbf{別の\textcolor{red}{限界}}もある. \\  試しに,\ $x+\bunsuu{1}{x^3}\ $の最小値を求めるとして,\ 相加相乗を使ってみよう. \\[.5zh] 考えて公式を適用}\right]$}} \\[.5zh]  $\bunsuu2x\ 以上であることはわかるが,\ それ以上何も得られるものはない.$ \\  このように,\ \textbf{\textcolor{red}{右辺が定数にならない場合は,\ 最小値は求まらない.}} \\\\\\ 相加相乗で最大・最小が求まるのは, 次の2パターンに限られる.}} \\[.5zh] \centerline{{\Large $[1]\ \ \bm{\textcolor{red}{積abが一定}となる場合,\ \textcolor{red}{和a+bの最\dot{小}値}が求まる.}$}} \\[.5zh] \centerline{{\Large $[2]\ \ \bm{\textcolor{red}{和a+bが一定}となる場合,\ \textcolor{red}{積abの最\dot{大}値}が求まる.}$}} \\\\  具体的には,\ $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{自動的に積が一定になる○+\bunsuu{1}{○}型の最小問題が頻出}}$である. \\\\  その他,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{相加相乗を使う目安}}として,\ 次の2つがある. \\[.5zh]   という条件つきである.\ または,\ \textcolor{cyan}{明らかに正数}である.}$ \\[.5zh]   \maru2\ \ $\bm{\textcolor{red}{式の対称性が高い.} (そもそもa+b,\ abは基本対称式である)}$ \\\\\\  さらに,\ 相加相乗は,\ \textbf{\textcolor{blue}{3変数以上に拡張}}される.\ \\[.5zh]    3変数はほぼ大丈夫だが,\ 4変数以上を無断使用してよいかは微妙である.