triangle-inequality

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などを三角不等式ということも多いが,\ これは三角関数の不等式である. \\ 三角不等式という名前は,\ 三角形の成立条件\ \ に由来する. \\[1zh] (1)は,\ 絶対値つき不等式の証明の基本どおり,\ 2乗して差をとる. \\ \bm{常に\ \zettaiti{xy}\geqq xy}\ ( となるはずはない)\ より,\ 0以上であることが示される. \\[1zh] (2)も2乗して差をとってもよいが,\ (1)を利用すると簡潔に示せる. \\ (1)において,\ \bm{x\ →\ x+y,\ \ y\ →\ -y\ と置き換えればよい}のである. \\[1zh] (3)は\bm{(1)を2回適用}するだけである. \\ 同様に繰り返せば,\ \bm{n項についても一般的に成立する}ことが容易に示される. \\[1zh] 等号成立条件はいずれも厄介である. \\ (1)は,\ \bm{同値関係「\zettaiti{A}=A\ \Longleftrightarrow\ A\geqq0」}を用いる. \\ (3)は,\ \bm{等号が2回とも成立}しなければならない. \\ つ目の等号成立  $(等号成立は,\ 1つ目はx=0\ or\ y=0,\ 2つ目はx+y=0\ or\ z=0より,\ x,\ y,\ zの少なくとも2個が0) 三角不等式は,\ 応用問題の中では証明なしで使用できる.