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n次式\ f(x)=g(x)\ がxについての恒等式}}$ \\[.2zh]  $\Longleftrightarrow\ \text{(\hspace{.28zw}I\hspace{.28zw})}\ \bm{\textcolor{red}{xにどんな値を代入しても等式が成立する}(\textcolor{blue}{恒等式の定義}).}$ \\[.2zh]  $\Longleftrightarrow\ \text{(\hspace{.19zw}I\hspace{-.19em}I\hspace{.1zw})}\ \bm{\textcolor{red}{f(x)とg(x)の次数が等しく,\ 同じ次数の項の係数も等しい.}}$ \\[.2zh]  $\Longleftrightarrow\ \text{(I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I)}\ \bm{\textcolor{red}{n+1個の異なるxの値に対して成立する}(\textcolor{blue}{整式の一致の定理}) \bm{恒等式か方程式かで扱い方が異なる}から,\ その違いの認識が重要である. \\ 恒等式の例 x^2-3x=x(x-3) (変形しただけなので,\ 任意のxについて成立) \\ 方程式の例 x^2-3x=0 (等号成立はx=0,\ 3のときのみ) \\ 恒等式の定義と照らし合わせてよく確認しておこう. \\[1zh] 「次数が等しく,\ 同じ次数の項の係数も等しい」ことから,\ \bm{係数比較が許される.} \\ \bm{整式の一致の定理}\text{(I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I\ →\ I\hspace{-.1em}I)}の証明を示す. \\ f(x)-g(x)=h(x)とすると,\ h(x)はn次以下の式である. \\ 相異なるn+1個のxの値をa_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ a_{n+1}\ とする. \\ h(x)=0が相異なるn個のxの値a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n\ に対して成立するとき \\ 因数定理より h(x)=a(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)\ \ (a:定数) と表せる. \\ さらに,\ a_{n+1}\ に対しても成立するのいずれとも異なるから a=0 \\ よって 恒等的に\ h(x)=f(x)-g(x)=0 \\[1zh] 明らかに であることから,\ \ は同値である. \hspace{.5zw}$次の等式がxについての恒等式となるように定数a,\ b,\ cの値を定めよ.$ \\[.5zh]  $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{係数比較法} \textcolor{red}{両辺の次数と同じ次数の項の係数が等しい}ことを利用.} \\[.2zh]  $[2]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{数値代入法} \textcolor{red}{どんな値でも常に成り立つ}こと(\textcolor{blue}{恒等式の定義})を利用. } \\\\[1zh]  [\textbf{\textcolor{blue}{係数比較法   置換の利用}}] \\[.5zh]  微分(数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I)の利用}}] \\[.5zh]   両辺をxで微分}すると 3x^2-2x-5=3(x-1)^2+2a(x-1)+b$ \\[.2zh]   $\textcolor{red}{両辺をxで微分 恒等式の未定係数の決定の基本は\bm{「係数比較法」と「数値代入法」}である. \\ 特に,\ \bm{係数比較法は万能で最も確実な解法}である. \\ 特定の条件下では,\ 数値代入法も有効である. \\ どんな値を代入しても成り立つのだから,\ 特殊な場合を考えて係数を定めてしまう. \\ \bm{3つの文字の値は3つの式があれば特定できる}から,\ 簡単な値を3つ代入する. \\ しかし,\ 特殊な場合のみの考慮になるので,\ 必要条件でしかない. \\ よって,\ \bm{本当に恒等式となるかという逆の確認をしなければならない.} \\ 求まった値を代入して計算し,\ 実際に一致するかを確かめる. \\ 逆の確認が必須であるため,\ 必ずしも係数比較法より楽なわけではない. \\ ただし,\ 逆の確認が必要ない穴埋め式試験では,\ 数値代入法が有利である. \\[1zh] 本問は,\ \bm{問題の式が特徴的な形}であるため,\ 他の2つの別解のほうが楽である. \\ 値の特定だけならば,\ \bm{「恒等式は微分しても恒等式である」}を利用して瞬殺できる. \\ 微分により,\ x=1を代入して簡単になる恒等式を増やせるからである. \\[1zh] 本問のような式変形を,\ \bm{x-aで展開する}といい,\ ある種の問題で役立つ. \\ あらゆる整式は,\ 次のような方法で直接的にx-aで展開できる. \\ 本問での例を示す.\ \bm{左辺のxに\ (x-1)+1\ を代入し,\ (x-1)のまま展開する.} \\[1zh] 一般に,\ \bm{等式1つにつき文字を1つ消去できる.} \\ 問題を読んだ時点で\bm{実質1変数の恒等式の問題}であることに気付きたい. \\[1zh] \bm{どの文字を残してどの文字を消去するか}という明確な意図をもって変形する. \\ とりあえず最も消去しやすいyを消去するために差をとると x-z=3 \\ この時点で,\ xを残すかzを残すかの2択となる.\ ここでは,\ zを残すことにする. zを残すため,\ \bm{x=(zの式),\ \ y=(zの式)\ にしようと考えて変形}したのである. \\ これを問題で与えられた等式に代入すると,\ zのみの恒等式となる. \hspace{.5zw}$x^3+ax^2+4x-1をx^2-x+1で割ると,\ 商がbx+1であるという.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$このとき,\ 定数a,\ bと余りを求めよ.$ \\   $\textcolor{cyan}{余りを\ cx+d}\ とおくと   筆算で割り算(省略)すると \ \ $\textcolor{cyan}{商\ x+a+1,\ \ 余り\ (a+4)x-a-2}$ \\[.5zh]   $\textcolor{red}{x+a+1=bx+1\ の係数を比較}すると \textcolor{red}{b=1,\ \ a+1=1}$ \\[.2zh] \bm{整式の割り算について成り立つ等式\ A=BQ+R\ は恒等式}である. \\ 割り算の問題は,\ この等式を作成してしまえば,\ 後は恒等式の問題に帰着する. \\ 割る式が2次式であるとき,\ \bm{余りは1次以下の式となる}ことを考慮して設定する. \\[1zh] 割られる式と割る式が判明している場合,\ 実際に割り算することができる. \\ うまい解法を考えている暇があったら,\ 実際に割り算してみた方がよいことも多い. x^4-4x^3+ax^2+x+b\ が,\ ある整式の平方となるような定数a,\ bの値を$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$求めよ.                        [札幌大] 2乗して4次式になるのであるから,\ ある整式は2次式である. \\ また,\ x^4の係数が1であるから,\ ある整式のx^2の係数も1である. \\ よって,\ \bm{ある整式はx^2+px+qとおけ,\ 恒等式の問題に帰着}する. \\[1zh] 右辺は\ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ (要暗記)を用いて展開する.