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恒等式\ A=B\ の証明は,\ 次の3通りの方法のうち,\ 楽そうなものを用いる.$ \\[.5zh]   $[1]$\ \ $\bm{AかBの\textcolor{red}{複雑な方を変形}して,\ 他方を導く.}$ \\[.2zh]   $[2]$\ \ $\bm{両方が複雑な場合,\ \textcolor{red}{A,\ Bをそれぞれ変形}して,\ \textcolor{red}{同じ式を導く.}}$ \\[.2zh]   $[3]$\ \ $\bm{\textcolor{red}{A-B=0}\ を示す.}根号や絶対値を含む等式}で有効}である. \\\\ \centerline{$\therefore \bm{(左辺)=(右辺)より,\ 等式は成立する.}$ 展開と因数分解を比べると,\ 普通は展開のほうが楽である. \\ \bm{両辺が因数分解された形}であるから,\ 左辺と右辺を変形して示すと楽である. \\ (2)はこの方法だけを示した. \\[1zh] 一般的には,\ (左辺)-(右辺)=0\ を示す方法も捨てがたい. \\ \bm{=0という明確な目標をもって変形していける}からである. \\ 左辺と右辺をそれぞれ変形する方法は,\ どこまで変形するかを迷うことがある. \\[1zh] また,\ 両辺が複雑な場合,\ 一方を他方に変形するのは難しい. \\ ここでは,\ 例として右辺から左辺への変形を示した. \\ \bm{より複雑な右辺を変形する}ことを優先したわけである. \\ 各方法を適切に使い分けるようにしよう. \\[1zh] 次のように,\ 問題の等式の両辺を変形し始める学生が少なくない. \\ 問題の式は,\ \bm{成立を示すべき式であり,\ 条件として与えられた式ではない.} \\ よって,\ あたかも成立が最初からわかっているかのような記述は避けよう. \\[1zh] 本問は,\ \bm{ラグランジュの恒等式}の特殊な場合であり,\ 整数分野でも登場する. \\ 次のように考えると,\ コーシー・シュワルツの不等式を包含する等式といえる. \\ a+b+c=0\ のとき,\ 次の等式を証明せよ.$ \\[.5zh] \bm{等式条件つきの証明は,\ 1文字消去が大原則}である. \\ 1文字消去によって条件を使い切れば,\ 必ず証明できるはずである. \\[1zh] 本問は,\ 次の因数分解公式(要暗記)と対称性を利用した別解も重要である. \\ \bm{a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)} \\ これを用いて変形すると,\ a+b+c=0\ を丸ごと適用することができる. \\ また,\ 対称性を利用し,\ \bm{2文字の和をすべて1文字で表す}と簡潔になる. \\ 経験が必要だが,\ 簡潔な解答が可能になるので慣れておいてほしい. nが奇数とする.$ \\[1zh] 同様に証明できる そのままでは,\ 1文字消去も対称性を生かすのも困難である. \\ まず,\ \bm{条件式を同値変形して簡単な表現に変換する}ことを考える. \\ 結局,\ 等式の証明というよりは,\ 因数分解のよい演習問題である. \\[1zh] 全部展開してしまうと後が大変である.\ 次のように,\ 手際よく処理したい. (aの式とみてaで整理して展開)  (循環するように美しく整理) \\[1zh] 最後,\ 次の同値関係を適用すると,\ 条件が単純な表現に変換される. \\ 「ABC=0\ \Longleftrightarrow\ A=0\ \ または\ \ B=0\ \ または\ \ C=0」 \\ 後は,\ それぞれの場合について\bm{左辺と右辺をそれぞれ1文字消去}すればよい. \\ 過程が全く同じであるから,\ すべて記述する必要はないだろう. \\[1zh] 次の関係は覚えておくとよい. \\ なお,\ 問題の式が分数で与えられた場合,\ \bm{断りがなくても(分母)\neqq0と考える.} \\前提