cauchy-schwarz

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差を計算すると,\ うまく2乗の形に因数分解される. \\ (1)は容易に因数分解できても,\ (2)は難しいと思うかもしれない. \\ (2)が(1)の拡張であることを意識することが重要である. \\ 拡張された不等式では,\ \bm{拡張前の不等式の証明を参考にする}とよい. \\ (1)の\ (ay-bx)^2\ を作り出すことを念頭において変形することになる. \\[1zh] \bm{拡張は,\ 誘導がない問題ほど重要で,\ 極めて応用性の高い根幹的な発想である.} \\ 例えば,\ (1)がなくていきなり(2)が出題されたとする. \\ このとき,\ \bm{\underline{自分で}\,より単純化した場合(1)を考えてヒントを得る}わけである. \\[1zh] 等号成立条件はすぐわかる.\ ただし,\ よく見る別表現は注意が必要である. \\ (1)のay=bxを\ \bm{\bunsuu ax=\bunsuu by}\ や\ \bm{a:b=x:y}\ と表している解答も多い. \\ 分数や比の形はわかりやすいが,\ \bm{0でないことが前提}になる. \\ 当然,\ 分母が0になっていいはずはないし,\ 比も0を含むと意味をもたなくなる. \\ 特別な必要性がない限り,\ 本解のように答えておけばよい. \\[1zh] 0でないとすると,\ (2)は,\ \bm{\bunsuu ax=\bunsuu by=\bunsuu cz}\ または\ \bm{a:b:c=x:y:z}\ と表せる. \\[1.5zh] コーシー・シュワルツの不等式は,\ \bm{ベクトルでとらえる}のが本質的である. \\ 等号成立は,\ \cos\theta=\pm1\ のとき,\ つまり\ \bekutoru*a\heikou\bekutoru*b\ のときである.  コーシー・シュワルツの不等式は,\ n項の場合に一般化}}$できる. \\[1zh] 任意の実数tに対して} 証明方法は独特であるので,\ 暗記を要する. \\ \bm{(a_1t-b_1)^2+(a_2t-b_2)^2+\cdots+(a_nt-b_n)^2\ という式を考える.} \\ この式は2乗の和であるから,\ tが何であれ0以上である. \\ tで整理すると,\ tについての2次式となる. \\ 当然,\ この\bm{tの2次式も常に0以上になるはず}である. \\[1zh] t^2\,の係数が0のとき,\ 1次式となるから場合分けして考える. \\ t^2\,の係数が0でないとき,\ \bm{2次関数が常に0以上である条件}に帰着する. \\ tの2次関数が常にt軸上かそれより上にあればよく,\ その条件は\ \bm{D\leqq0}\ である. \\[1zh] 等号成立条件は,\ 一番最初の不等式から導かれる. \\ しかし,\ tが残っているのが気になるし,\ 本質がわかりにくい. \\ そこで,\ 次のように考える. \\ \bm{「a_k=0\ のとき\ b_k=0」と特別に定めることで,\ 分数で表現できる}のである. \\ 0は0に対応すると定めると,\ a_1:a_2:\cdots:a_n=b_1:b_2:\cdots:b_n\ とも表せる.