partial-fraction-decomposition

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分子の次数)\geqq(分母の次数)$ならば,\ まず分子の次数を下げる. \\  その上で,\ \textbf{\textcolor{red}{分母が因数分解される場合,\ 部分分数分解ができる.}} \\\\  まず,\ どのように分解できるかを覚えておく必要がある. \\  基本的には因数ごとに分解すればよいが,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{累乗がある場合に注意}}する. 分子は必ず分母より次数が低くなる.}    右辺を通分すると 恒等式の基本だが面倒}係数比較}{数値代入法}} [\textcolor{brown}{必要条件だけで未知数を特定する}] \\[.5zh] 部分分数分解の結果だけでよい場合は,\ [1]よりも[2]が便利である. \\ xで整理せずとも,\ \bm{一方の文字が0になるような値を両辺のxに代入}すればよい. \\ 途中過程が要求される場合,\ [2]の方法だと十分性の確認が必要になる. \\ その場合は,\ [1]の方法が結局は速いだろう. 数値代入法をさらに簡略化}} [\textcolor{brown}{ヘビサイドの方法を参考にしたもの}] \\[.5zh] のAを素早く求める方法を考える.$ \\   \ \ 両辺に$x+2を掛けてみると   この方法で,\ 本問の部分分数分解の瞬殺が可能になる. \\[.5zh]    数値代入法でA,\ Bを求める方法を示す. \\ (1)と同様,\ まず通分して分子を取り出す. \\ x=-1を代入し,\ 素早くBを求めることができる. \\ (1)とは違い,\ 本問の場合はうまくBが消えるようなxは存在しない. \\ そこで,\ 簡単な値を適当に代入して求める.\ 0でよいだろう. \\[1zh] 実は,\ \bm{恒等式は微分しても恒等式である}ことを用いるとさらに速い. \\ 5x+3=A(x+1)+B\ の\bm{両辺をxで微分}すると \bm{5=A} 簡単に求まる文字から求め,\ その結果を代入しつつ,\ 他の文字も求める. \\ まず,\ x=1を代入することで,\ B,\ Cが消え,\ 素早くAが求められる. \\ 次に,\ x=0を代入することで,\ Bを消去できる. \\ 既に求まっているAを代入しつつBを消去し,\ Cを求める. \\ 後は適当に簡単な値を代入してBを求めればよい. \\ x=-1とすると符号の扱いが厄介そうだったため,\ ここではx=2を代入した.