x<1,\ \ y<1のとき,\ \ xy+1}>x+y}\ \ が成り立つことを示せ.$ \\
{絶対値を含む不等式の証明
絶対値を含む不等式A≧ Bの証明では,\ A-B≧0を示すことが難しい.
絶対値のせいで計算を進めることができなくなるからである.
実際,\ 本問の場合も\ xy+1}-x+y}\ としたところでそれ以上どうにもならない.
そこで,\ 左辺も右辺も0以上ならば,\ 両辺を2乗しても同値である}ことを利用するのが基本となる.
A≧ Bを示す代わりにA^2≧ B^2,\ つまりはA^2-B^2≧0を示す}のである.
以下のように絶対値は2乗するとはずれる}から,\ 普通に計算できるようになる.
条件の\ x<1,\ y<1\,の両辺を2乗するとx^2<1,\ y^2<1となることから,\ ≧0が示される.
この条件の不等式も両辺が正なので2乗しても同値というわけである.
最後,\ 前提条件のA≧0,\ B≧0を断った上で2乗をはずす.}
左辺も右辺も絶対値がついているので文句なく≧0である.
