a+b+c=1,\ \ ab+bc+ca=abc\ \ のとき,\ 実数a,\ b,\ cのうち少なくとも1つ$
\ \ $は1に等しいことを証明せよ.$
(2)\ \ $ xy+ yz+ zx= yx+ zy+ xz\ ならば,\ 実数x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しく$
\ \ $なることを示せ.$
(3)\ \ $a+b+c=ab+bc+ca=3のとき,\ 実数a,\ b,\ cがすべて1であることを証明せよ.$ {「少なくとも～」「すべての～」の証明
何を示せば少なくとも1つが1に等しいことを示したことになるか}が重要である.
同値変形「A=0\ \ または\ \ B=0\ ⇔\ AB=0}\,」を利用し,\ 日本語を数式に変換する.
a,\ b,\ cの少なくとも1つが1に等しい\ ⇔\ a=1\ \ または\ \ b=1\ \ または\ \ c=1
a-1=0\ \ または\ \ b-1=0\ \ または\ \ c-1=0
bm{(a-1)(b-1)(c-1)=0}
結局は等式の証明}であるから,\ 複雑な左辺を変形して0になることを示す.}
{(x-y)(y-z)(z-x)}=(xy-xz-y^2+yz)(z-x)$
$(x-y)(y-z)(z-x)}=xyz-x^2y-xz^2+x^2z-y^2z+xy^2+yz^2-xyz$
$(x-y)(y-z)(z-x)}=x^2z+xy^2+yz^2}-(x^2y+xz^2+y^2z)$
ここで $ xy+ yz+ zx= yx+ zy+ xz$\ の両辺に$xyz$を掛けると
$x^2z+xy^2+yz^2=y^2z+xz^2+x^2y}$
$(x-y)(y-z)(z-x)=y^2z+xz^2+x^2y}-(x^2y+xz^2+y^2z)$
$(x-y)(y-z)(z-x)
$よって z-y=0\ \ または\ \ x-y=0\ \ または\ \ x-z=0$
$ゆえに z=y\ \ または\ \ x=y\ \ または\ \ x=z}$
∴ x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい.}
x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい\ ⇔\ x=y\ \ または\ \ y=z\ \ または\ \ z=x
x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい}\ ⇔\ x-y=0\ \ または\ \ y-z=0\ \ または\ \ z-x=0
x,\ y,\ zのうち少なくとも2つは等しい}\ ⇔\ (x-y)(y-z)(z-x)=0}
(x-y)(y-z)(z-x)を展開し,\ 条件式を分母をはらった形にして利用すると=0となる.
実は,\ 条件式を同値変形していき,\ 直接(x-y)(y-z)(z-x)=0を導くこともできる.
xyzを掛けて分母をはらった後,\ 1つの文字で整理して因数分解する.
x^2z+xy^2+yz^2=y^2z+xz^2+x^2y
(z-y)x^2-(z^2-y^2)x+yz^2-y^2z=0
(z-y)x^2-(z-y)(z+y)x+yz(z-y)=0
(z-y)\{x^2-(z+y)x+yz\}=0
(z-y)(x-y)(x-z)=0
{(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2}=(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+(c^2-2c+1)$ {a^2+b^2+c^2})-2(a+b+c)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)+3$ \=3^2-2･3-2･3+3=0}$
$よって a-1=0\ \ かつ\ \ b-1=0\ \ かつ\ \ c-1=0}$a=b=c=1}$
同値変形「\,A=0\ \ かつ\ \ B=0\ ⇔\ A^2+B^2=0}\,」を利用し,\ 日本語を数式に変換する.
常にA^2≧0,\ B^2≧0\ より,\ A^2+B^2=0ならばA=B=0である.
a,\ b,\ cはすべて1\ ⇔\ a=1\ \ かつ\ \ b=1\ \ かつ\ \ c=1
a,\ b,\ cはすべて1}\ ⇔\ a-1=0\ \ かつ\ \ b-1=0\ \ かつ\ \ c-1=0
a,\ b,\ cはすべて1}\ ⇔\ (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0}
(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\,は,\ a,\ b,\ c\ の対称式}である.
よって,\ 3文字の基本対称式\ a+b+c,\ ab+bc+ca,\ abc\ で表す方針で変形すればよい.
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ より\ \ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca
