大小比較と有理関数による無理数の評価

irrational-number-approximation
計算量・記述量を減らすには,\ {大小関係を予想しておく}ことが重要である. それには,\ aに適当な数を代入してみればよい. a=2とすると {a+2}{a+1}=43=1.3, a2+1a=32=1.5 よって,\ 21.4\ より,であると予想}できる. 後は,\ これを証明すればよく,\ 2回の大小比較で完全に決まる. a2+1a\ と\ {a+2}{a+1}\ の大小は比較するまでもないのである. うまく因数分解できることに気付けるかは,\ 普段の演習量がものをいう. 等号が成立するかどうかは不等式を証明する途中で判断する. aが正の有理数のとき,\ 2\ はaと\ {a+2}{a+1}\ との間にあることを示せ.$ ${a+2}{a+1}\ の方がaより2\ に近いことを示せ.$ Aがp,\ qの間にあるための条件$       は異符号になる. 一般に,\ {日本語「xとyの一方が正で一方が負」は,\ 数式で表される.} 積を計算して負になることを示すわけだが,\ 展開する必要はない. うまく因数分解でき, より示される. a2\ であるから,\ (a-2)²=0\ となることはない. は2\ との距離を考えるから,\ {絶対値を利用}する. で,\ これを示すのが目標になる. {の最初と最後の式を持ち出す}と,\の関係がわかる. 両辺をa-2\ で割る. そして,\ {両辺に絶対値をつける.} よって,\ 後は\ を示せば,\ 目標の不等式が示されたことになる. 本問は,\ {2\ を有理数で近似する}ことを背景としている. 重要なのは,\ より,\ {43\ のほうがより\ 2\ に近い}ことである. よって,\ 今度は\ a=43\ とすると 次は\ a={10}{7}\ と繰り返していくと,\ {近似が限りなく精密になっていく}のである. これを繰り返すと,\ aと\ {a+2}{a+1}\ の幅は縮まっていき,\ 極限では一致する. 実際,\ より,\ 2\ に収束していくことがわかる. 元はといえば,\ a²=2\ をa=f(a)の形にしたときのf(a)が\ {a+2}{a+1}\ だったのだ.
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