a≧√2\ を満たすとき,\ a+2}{a+1},\ \ a2+1a,\ \ √2\ \ の大小を不等号を用いて表せ.$ \\
{大小比較
最小限の計算量・記述量で答えるには,\ 最初に大小関係を予想する}ことが重要である.
a≧√2\,より試しにa=2を代入してみると 予想}できる.
予想ができていれば,\ 2回の大小比較で済む.\ \ a2+1a\,と\ a+2}{a+1}\,の大小を比較する必要はない.
本問は基本通り差を計算する}と大小比較できるのだが,\ 因数分解できることに気付きにくい.
その場合,\ 根号を含む不等式の基本である2乗の差を計算する}とよい.
最終的には等号が成立するか否か(>か≧\,か)}の判断も要るが,\ 因数分解によりこれもわかる.
a≧√2\,のとき\,√2-1>0,\ a+1>0,\ a-√2≧0}より,\ a=√2\,のとき等号が成立する.
a2+1a\,は,\ a2\,と\,1a\,の積が定数になる}のであからさまに相加相乗を匂わせる(別解).
等号成立条件を確認すると,a$を正の有理数とする.
$(1)\ \ √2\ はaと\ a+2}{a+1}\ との間にあることを示せ.$
$(2)\ \ a+2}{a+1}\ の方がaより√2\ に近いことを示せ.{無理数の有理数による近似{Aがp,\ qの間にあるための条件
√2\ がaと\ a+2}{a+1}\ の間にあるとき,\ a-√2\ と\ a+2}{a+1}-√2\ は異符号になる}はずである.
「一方が正で他方が負」という条件は,\ 「積が負」と言い換えると簡潔に表現できる.}
a-√2\,と\,a+2}{a+1}-√2\,の積を計算して負になることを示せばよいわけだが,\ 展開する必要はない.
なお,\ aは有理数なのでa≠√2\,であり,\ (a-√2\,)^2=0\,となることはない.
(2)は\,√2\,との距離を考えることになるから,\ 絶対値を利用}する.
題意を数式で表すと\ a+2}{a+1}-√2\,}
