分子の次数)≧(分母の次数)}$である分数式の扱い
分子の次数を分母の次数より低くせよ}」
この式変形は,\ 本項だけではなく高校数学全般において重要である.
計算が楽になったり,\ 問題の見通しがよくなったりする.
分数式を見かけたときは,\ 常に分子と分母の次数に意識を向けてほしい.
普通の数の$14}{3}=4+23$と同様である.
分子の次数下げの方法は2パターンに分類される.
$[1]$\ \ 分母と分子の次数が等しい場合,\ 無理矢理分子に分母と同じ式を作った後,\ 分割する.
$[2]$\ \ 分子の次数が分母より大きい場合,\ 筆算による整式の割り算を行う.
\ \ \rei\ \ $x^3+1}{x+3}\ の分子の次数を分母より低くする.$
\ \ \rei}\ \ $[1]$の方法では同様の作業を複数回行う必要があり,\ 面倒である.
\ \ \rei}\ \ $(分子)÷(分母)を筆算で計算すると,\ 一発で求めることができる.$
[1]\ \ 分子に分母と同じ式を作るといっても,\ 2x+5}{x+2}=(x+2)+(x+3)}{x+2}\,としては意味が無い.
[2]\ \ AをBで割ったときの商をQ,\ 余りをRとすると,\ 以下の等式が成立するのであった.
\ \ A=BQ+R (Bの次数)>(Rの次数)}
分子の次数下げを行った後,\ 2項ずつ計算するとよい.\ 4項一気に通分すると分子の計算が地獄になる.
このとき,\ 分子が簡単になるよう組み合わせを工夫する.
本問の場合,\ 普通に前半2項と後半2項を組み合わせるといずれも分子が1になる.
また,\ -1}{x+3}+1}{x+4}=-(x+4)+(x+3)}{(x+3)(x+4)}\ とする計算ミス}が多いので注意する.
正しくは,\ -1}{x+3}+1}{x+4}=-1}{x+3}-1}{x+4}=-(x+4)-(x+3)}{(x+3)(x+4)}\ である.
さて,\ 解答では分数式の扱いの基本に従って最初に分子の次数下げを行った.
しかし,\ 分数式の加法と減法では,\ 次数下げせずに計算した方が手っ取り早いことが少なくない.
分子の次数下げは,\ 実戦では分数式の加法と減法以外の問題でより重要になる.
実は次数下げしない方が手っ取り早い.
本問はx-3が消えるように問題を作ったので次数下げもある程度は有効である.
もし消えない場合には再び通分する羽目になることも考慮すると,\ 次数下げのメリットは少ない.
