ab= cd= ef$のとき,\ 等式$ ab=pa+qc}{pb+qd}=pa+qc+re}{pb+qd+rf}$が成り立つことを示せ. \\
{比例式と等式の証明}比例式の扱い$
$ ab= cd}=k\ とおき,\ a=bk,\ \ c=dk\ として文字を減らす.$
$ ab= cd= ef=k}$とおくと $a=bk,\ c=dk,\ e=fk}$
比例式の基本的な扱い方さえ覚えておけば,\ 代入して計算するだけで証明できる.
本問の等式を加比の理}という.
正数$a,\ b,\ c,\ d$に対し,\ $a:b=b:c=c:d$が成り立つとする.
このとき,\ $(a+b):(b+c)=(b+c):(c+d)$が成り立つことを示せ.
条件が比の形で与えられた場合,\ 分数での表現に変換する}と扱いやすい.
a:b=c:d\ のときad=bc\ より,\ 両辺をbdで割ると\, ab= cd\,となる.
両辺をcdを割って\, ac= bd,\ \ 両辺をacで割って\, dc= ba\,と変形してもよい.
なお,\ 連比\ a:b:c=d:e:f}\ は,\ \ a:b=d:e\ \ かつ\ \ b:c=e:f\ を意味する.
本問は,\ 条件も結論も分数に変換してから証明}すればよい.
本解のようにa,\ b,\ cをすべてd,\ kで表して証明することもできるが,\ 別解が簡潔である.
