x+y}{5}=y+z}{6}=z+x}{7}\ (≠0)のとき,\ x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\ の値を求めよ.$ \\
{比例式と同次分数式の値 \\
$比例式の扱い
=k\ とおくと,\ x→y→z→xのように文字が循環した連立方程式となる.
循環型の連立方程式は,\ 各辺の和をとると対称式になる}ことを利用すると楽に解けるのであった.
和をとった式④から各式を引くとx,\ y,\ zが求まるので,\ 後は代入するだけである.
本問の値を求める式は,\ 分母も分子も2次の項のみでできている.
このような分数式を同次式}といい,\ kが約分されて値が求まる.
言い換えると,\ 同次式の値は比さえわかれば求められる.}
実際,\ 本問の式の分母分子をx^2\,で割ると比のみで表すことができる. \
別解のように=kとおかずに求めることもできる.
一般に,\ (x,\ yの同次式)=0が1つあれば,\ x:yが求められる.}
さらに,\ (x,\ y,\ zの同次式)=0が2つあれば,\ x:y:zが求められる.}
本問の条件式は①かつ②と同値なので,\ ここからx:y:zを求めることができる.
x:y:z=32y:y:2y=32:1:2=3:2:4
本問の場合は比の形にする必要はなく,\ そのまま代入すればよい.
比にせずとも,\ 式1つにつき文字を1つ消せる}ので,\ 2文字x,\ zを消去したというだけである.
a+b+c=0の可能性があるので,\ 4(a+b+c)=k(a+b+c)から安易に4=kとしてはならない.
=0の形にして因数分解し,\ AB=0\ ⇔\ A=0\ または\ B=0}\ を適用する.
a+b+c=0のとき,\ これを与式に代入して値を求めればよい.
4-k=0のときk=4となるが,\ これを直ちに答えとしてはならない.
2(a+b)}{c}=k\ ⇒\ 2(a+b)=kc\ は成り立つが,\ これの逆は成り立たない}からである.
つまり,\ ①\,～\,③から導かれたk=4は,\ (与式)=4であるための必要条件に過ぎない.
c≠0であれば,\ 2(a+b)=4c\ ⇒\ 2(a+b)}{c}=4\ が成り立つ.
2(b+c)=4a,\ 2(c+a)=4bについても同様である.
結局,\ k=4となるような0でないa,\ b,\ cが存在することを確認する}必要が生じる.
k=4を代入して解くと,\ a=b=cであればよいことがわかる.
a=b=cならば何でもよいということなので,\ 0でないa,\ b,\ cが存在するといえる.
なお,\ a≠0\ かつ\ b≠0\ かつ\ c≠0をabc≠0と表現することができる.
abc=0\ ⇔\ a=0\ または\ b=0\ または\ c=0の対偶である.
