irrational-number-approximation

検索用コード
計算量・記述量を減らすには,\ \bm{大小関係を予想しておく}ことが重要である. \\ それには,\ aに適当な数を代入してみればよい. \\ a=2とすると \bunsuu{a+2}{a+1}=\bunsuu43=1.3\cdots,\ \ \bunsuu a2+\bunsuu1a=\bunsuu32=1.5 \\[.5zh] よって,\ \ruizyoukon2\kinzi1.4\ より,\ \ であると予想}できる. \\[.5zh] 後は,\ これを証明すればよく,\ 2回の大小比較で完全に決まる. \\ \bunsuu a2+\bunsuu1a\ と\ \bunsuu{a+2}{a+1}\ の大小は比較するまでもないのである. \\ うまく因数分解できることに気付けるかは,\ 普段の演習量がものをいう. 等号が成立するかどうかは不等式を証明する途中で判断する. aが正の有理数のとき,\ \ruizyoukon2\ はaと\ \bunsuu{a+2}{a+1}\ との間にあることを示せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ \bunsuu{a+2}{a+1}\ の方がaより\ruizyoukon2\ に近いことを示せ.$ \\ Aがp,\ qの間にあるための条件}}$ \\[.5zh]       は異符号になる. \\ 一般に,\ \bm{日本語「xとyの一方が正で一方が負」は,\ 数式で表される.} \\[1zh] 積を計算して負になることを示すわけだが,\ 展開する必要はない. \\ うまく因数分解でき, より示される. \\ a\neqq\ruizyoukon2\ であるから,\ (a-\ruizyoukon2)^2=0\ となることはない. \\[1zh] (2)は\ruizyoukon2\ との距離を考えるから,\ \bm{絶対値を利用}する. \\ で,\ これを示すのが目標になる. \\[1zh] \bm{(1)の最初と最後の式を持ち出す}と,\の関係がわかる. \\[.5zh] 両辺をa-\ruizyoukon2\ で割る. \\ そして,\ \bm{両辺に絶対値をつける.} \\ よって,\ 後は\ を示せば,\ 目標の不等式が示されたことになる. \\[1.5zh] 本問は,\ \bm{\ruizyoukon2\ を有理数で近似する}ことを背景としている. \\ 重要なのは,\ (2)より,\ \bm{\bunsuu43\ のほうがより\ \ruizyoukon2\ に近い}ことである. \\[.5zh] よって,\ 今度は\ a=\bunsuu43\ とすると 次は\ a=\bunsuu{10}{7}\ \cdots と繰り返していくと,\ \bm{近似が限りなく精密になっていく}のである. \\ これを繰り返すと,\ aと\ \bunsuu{a+2}{a+1}\ の幅は縮まっていき,\ 極限では一致する. \\ 実際,\ より,\ \ruizyoukon2\ に収束していくことがわかる. \\[.5zh] 元はといえば,\ a^2=2\ をa=f(a)の形にしたときのf(a)が\ \bunsuu{a+2}{a+1}\ だったのだ.