inequality-proof

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不等式$の証明}}は,\ $\bm{\textcolor{red}{A-B\ を示す}}$のが絶対の基本である. \\  自動的に$=0$になる等式とは異なり,\ \ を示すのに\textbf{\textcolor{cyan}{一段階必要}}になる. \\[.5zh]  また,\ 不等式は,\ \textbf{\textcolor{red}{繰り返し適用することで拡張する}}ことができる. \\  この拡張にはやや慣れを要するので,\ 要演習である. \\\\[1zh] 両辺の差をとることには,\ \bm{より本質に近づける}という意味合いもある. \\ 本問の場合は\bm{因数分解}でき,\ さらに\bm{仮定を用いる}と,\ 正であることがわかる. \\ (2)の不等式は(1)と類似しており,\ 拡張したものだろうと予想できる. \\ \bm{(1)の左辺から(2)の左辺を作り出すことを考える.} \\[1zh] \bm{(1)のaにab,\ (1)のbにcを代入}すると,\ (1)のa\cdot b\ が(2)の\ ab \cdot c\ となる. \\ +1や+2の定数部分は後からどうにでもなる. \\ 両辺に1を加えると 右辺のab+1の部分に\bm{再び(1)を適用}して目的の不等式が導かれる. \\ 以上をまとめて簡潔に記述すると,\ 本解のようになる. \\[1zh] どうしても紛らわしいと思うならば,\ abc=Acなどと置き換えて考えればよい. \\ \bm{繰り返し不等式を適用するときは,\ \underline{前提条件を満たすか否かの確認を要する.}} \\ のとき}に成り立つ不等式である. \\ a\ →\ ab,\ b\ →\ c\ として(1)を適用するには\ が前提}となる. \\ この前提条件が満たされているかを確認した上で,\ (1)の不等式を適用する. \\ 逆に言えば,\ 前提条件が確認されていない状態では,\ (1)を適用できない. 2次式の不等式} \textcolor{cyan}{平方完成}し,\ \textcolor{red}{( )^2\geqq0\ を利用して\ A-B\geqq0\ を示す.}き等号成立.}$ \\\\[1.5zh] 与不等式は成立する 2次式の場合は\bm{平方完成}する方向で式変形を行っていく. \\ \bm{( )^2\geqq0\ を利用}するためである. \\[1zh] 本問の場合は3文字あるが,\ まず\bm{1文字aで整理して平方完成}する. \\ \bm{( )^2\ の部分は\geqq0が確定する}から,\ 残りの\bm{b,\ cの部分をさらに平方完成}する. \\ すべて2乗の形にでき,\ \geqq0が示される. \\[1zh] 等号成立条件は,\ 同値関係\ \bm{A^2+B^2=0\ \Longleftrightarrow\ A=B=0}\ を利用すればよい. \\ つまり,\ a-\bunsuu{b+c}{2}=0\ \ かつ\ \ b-c=0\ が等号成立条件である. \\[1zh] (1)は別解の方法がとりわけ重要である. \\ \bm{対称性を利用する有名な変形パターン}であり,\ 是非とも習得しておいてほしい. \\ \bunsuu12\ を無理矢理くくりだして2倍にし,\ 2a^2=a^2+a^2\ と考えてうまく分配する. \\ すると,\ 対称性が維持されたより本質的な平方完成が可能になるのである. \\[1zh] (2)は(1)の拡張である. \\ \bm{(1)のa,\ b,\ cに\ a^2,\ b^2,\ c^2\ を代入}すると考えればよい.\ 前提条件はない. \\ さらに,\ \bm{(1)のa,\ b,\ cに\ ab,\ bc,\ ca\ を代入}すると考えてもう一度適用する. \\[1zh] 等号成立条件も(1)で求めたものを利用する. \\ (1)のa,\ b,\ cを\ a^2,\ b^2,\ c^2\ と考えたのであるから,\ a^2=b^2=c^2\ となる. \\ \bm{2回の不等式の等号が両方成立して初めて,\ (2)の不等式の等号成立が示される.} \\ よって,\ a^2=b^2=c^2\ \ かつ\ \ ab=bc=ca\ が等号成立条件となる. \\ a,\ b,\ cのいずれかが0のとき,\ 明らかに\ a=b=c=0 \\ a,\ b,\ cがいずれも0でないとき,\ ab=bc\ より\ a=c (0でなければ両辺割れる) \\ 同様にして,\ bc=ca\ より\ b=a \\ よって,\ a=b=c\ であり,\ これは\ a^2=b^2=c^2\ も満たす. \\ 結局,\ \bm{「a^2=b^2=c^2\ \ かつ\ \ ab=bc=ca\ \Longleftrightarrow\ a=b=c」}である. 次の不等式を証明せよ.\ また,\ 等号成立条件を示せ.$ \\[.5zh]  $\bm{\textcolor{blue}{根号や絶対値を含む不等式}  \textcolor{cyan}{両辺を2乗}}して,\ \ \bm{\textcolor{red}{A^2-B^2\geqq0\ を示す.}}$  $等号は,\ \zettaiti{ab}=0,\ つまり\ \bm{a=0\ または\ b=0\ のとき}に成立する.$ \\\\[.5zh] この同値関係には,\ 下線部の前提条件があることに要注意である. \\ \bm{左辺も右辺も0以上の場合に限り,\ 両辺を2乗しても同値}なのである. \\ これを利用し,\ A\geqq Bを示す代わりに,\ A^2\geqq B^2\ を示すわけである. \\ このとき,\ 常に\ \\ といえることがポイントになる. \\[1zh] 本問は,\ 左辺の\ 2\zettaiti a+3\zettaiti b\ も,\ 右辺の\ \ruizyoukon{4a^2+9b^2}\ も明らかに0以上である. \\ よって,\ まず2乗して\ A^2\geqq B^2\ を示す. \\ その後,\ \bm{A\geqq0,\ B\geqq0\ を断った上で2乗をはずす}(この記述を忘れない). \\ 両辺に絶対値を含む不等式も2乗が有効である. \\ \bm{絶対値は2乗するとはずれる}からである.  \bm{\zettaiti{X}^2=X^2} \\ また,\ 条件の不等式も両辺が正であるから,\ 2乗しても同値である. \\ これを利用すると,\ (2乗の差)=(x^2-1)(y^2-1)\ が示せるわけである.