3次方程式の解と係数の関係、3解の対称式の値

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3次方程式\ x^3-2x+4=0\ の3解を\ \alpha,\ \beta,\ \gamma\ とするとき,\ 次の値を求めよ (1)\ \ $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ & (2)\ \ $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$ & (3)\ \ $\alpha^4+\beta^4+\gamma^4$ \\[.8zh] (4)\ \ $(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)$  & (5)\ \ $(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$ {3次方程式の解と係数の関係と3解の対称式の値}$}}}} \\\\[.5zh]  3次方程式\ $ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a\neqq0)\ の両辺をaで割ると$ \\[.2zh] \centerline{$x^3+\bunsuu bax^2+\bunsuu cax+\bunsuu da=0$} \\[1zh]  3解\ $\alpha,\ \beta,\ \gamma\ を持つとき x^3+\bunsuu bax^2+\bunsuu cax+\bunsuu da=\textcolor{cyan}{(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}$ \\[1zh]  右辺を展開すると \\[.2zh] \centerline{$x^3+\textcolor{magenta}{\bunsuu ba}x^2+\textcolor{magenta}{\bunsuu ca}x+\textcolor{magenta}{\bunsuu da}=\textcolor{cyan}{x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma}$} \\[1zh]  \textcolor[named]{ForestGreen}{両辺の係数を比較}すると \\[.5zh] \centerline{{\large \dilutecolor{yellow}{.2}{dyellow}\colorbox{dyellow}{\ $\textcolor{red}{\bm{\alpha+\beta+\gamma=-\bunsuu ba,\ \ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\bunsuu ca,\ \ \alpha\beta\gamma=-\bunsuu da}}$\ }}} \\\\[.5zh]  なお,\ $\bm{\textcolor{red}{\alpha+\beta+\gamma,\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,\ \alpha\beta\gamma}}\ は\bm{\textcolor{blue}{3変数の基本対称式}}なのであった.$ \\\\\\  条件「\,3次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$が3解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$をもつ」への対応が3つある. \\[1zh]   [1]\ \ \textbf{\textcolor{blue}{解と係数の関係}}を利用する. \\[.5zh]   [2]\ \ $\bm{\textcolor{red}{ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}}$とおく. \ \ \textcolor{red}{a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d=0} \\[.2zh] \ \textcolor{red}{a\beta^3+b\beta^2+c\beta+d=0} \\[.2zh] \ \textcolor{red}{a\gamma^3+b\gamma^2+c\gamma+d=0}  $\textcolor{blue}{解と係数の関係}より \textcolor{red}{\alpha+\beta+\gamma=0,\ \ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-\,2,\ \ \alpha\beta\gamma=-\,4}$ \\\\  (1)\ \ $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\textcolor[named]{ForestGreen}{(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)}=\textcolor{red}{0}^2-2(\textcolor{red}{-\,2})=\bm{4}$ \\\\  (2)\ \ $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=\textcolor[named]{ForestGreen}{(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma}$ \\[.2zh] \phantom{ (2)\ \ }$\phantom{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}=\textcolor{red}{0}+3(\textcolor{red}{-\,4})=\bm{-\,12}$ \\\\  \betu\ \ $\alpha,\ \beta,\ \gamma\ が解であるから \alpha^3-2\alpha+4=0,\ \ \beta^3-2\beta+4=0,\ \ \gamma^3-2\gamma+4=0$ \\[.2zh] \phantom{ (2)\ \ }よって $\textcolor{cyan}{\alpha^3=2\alpha-4,\ \ \beta^3=2\beta-4,\ \ \gamma^3=2\gamma-4}$ \\[1zh] \phantom{ (2)\ \ }$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=(\textcolor{cyan}{2\alpha-4})+(\textcolor{cyan}{2\beta-4})+(\textcolor{cyan}{2\gamma-4})$ \\ \phantom{ (2)\ \ }$\phantom{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}=2(\textcolor{red}{\alpha+\beta+\gamma})-12=2\cdot\textcolor{red}{0}-12=\bm{-\,12}$ \\\\ {(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)^2-2(\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2)}$ \\[.2zh] \phantom{ (2)\ \ }$\phantom{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}=(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)^2-2\{(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2-2(\alpha\beta^2\gamma+\beta\gamma^2\alpha+\gamma\alpha^2\beta)\}$ \\[.2zh] \phantom{ (2)\ \ }$\phantom{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}=(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)^2-2\{\textcolor{magenta}{(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2-2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)}\}$ \\[.2zh] \phantom{ (2)\ \ }$\phantom{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}=\textcolor{red}{4}^2-2\{(\textcolor{red}{-\,2})^2-2\cdot(\textcolor{red}{-\,4})\cdot\textcolor{red}{0}\}=\bm{8}$ \\\\  \betu\ \ $\alpha,\ \beta,\ \gamma\ が解であるから \alpha^3-2\alpha+4=0,\ \ \beta^3-2\beta+4=0,\ \ \gamma^3-2\gamma+4=0$ \\[.2zh] \phantom{ (2)\ \ }よって $\textcolor{cyan}{\alpha^4=2\alpha^2-4\alpha,\ \ \beta^4=2\beta^2-4\beta,\ \ \gamma^4=2\gamma^2-4\gamma}$ \\[1zh] \phantom{ (2)\ \ }$\alpha^4+\beta^4+\gamma^4=(\textcolor{cyan}{2\alpha^2-4\alpha})+(\textcolor{cyan}{2\beta^2-4\beta})+(\textcolor{cyan}{2\gamma^2-4\gamma})$}$\phantom{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}=2(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)-4(\alpha+\beta+\gamma)=2\cdot\textcolor{red}{4}-4\cdot\textcolor{red}{0}=\bm{8}$ \\\\  (4)\ \ $(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)={\alpha\beta\gamma-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+(\alpha+\beta+\gamma)-1}$ \\[.2zh] \phantom{ (2)\ \ }$\phantom{(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)}=\textcolor{red}{-\,4}-(\textcolor{red}{-\,2})+\textcolor{red}{0}-1=\bm{-\,3}$ \\\\  \betu\ \ $\alpha,\ \beta,\ \gamma\ が解であるから \textcolor{red}{x^3-2x+4=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}$ \\[.5zh]  \phantom{(2)\ \ }\textcolor{cyan}{両辺に$x=1$を代入}すると $\textcolor{cyan}{1^3-2\cdot1+4=(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)}$ \\[.2zh]  \phantom{(2)\ \ }よって $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)=3$ \\[.2zh]  \phantom{(2)\ \ }ゆえに $(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)=\bm{-\,3}$ \\\\  (5)\ \ $\textcolor{red}{\alpha+\beta+\gamma=0}\ より \textcolor{cyan}{\alpha+\beta=-\,\gamma,\ \ \beta+\gamma=-\,\alpha,\ \ \gamma+\alpha=-\,\beta}$ \\[.3zh]  \phantom{(2)\ \ }よって $(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) 2次方程式の2解の対称式の値の項で詳しく解説したので,\ ここでは簡潔な解説に留める. \\[1zh] (1)\ \ 対称式の基本変形をした後,\ 基本対称式の値を代入するだけである. \\[1zh] (2)\ \ 以下の因数分解公式(暗記必須)を利用すると基本対称式で表せる. \\[.2zh]    \bm{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)}\ \\[.5zh] \phantom{(2)}\ \ 本問のように\,\alpha+\beta+\gamma=0でない場合,\ さらに以下の変形が必要になる. \\[.2zh]    \ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha=(\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\[1zh] \phantom{(2)}\ \ 別解は\bm{次数下げ}を行うものであり,\ 本解よりも汎用性が高い. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 本問の方程式は,\ 2次の項がないので3次を一気に1次にでき,\ 特に簡潔に済む. \\[1zh] (3)\ \ まず,\ \alpha^4+\beta^4+\gamma^4=\bm{(\alpha^2)^2+(\beta^2)^2+(\gamma^2)^2}\ と考えて(1)と同様の変形をする. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 次に,\ \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2=\bm{(\alpha\beta)^2+(\beta\gamma)^2+(\gamma\alpha)^2}\ と考えて(1)と同様の変形をする. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ さらに,\ 共通因数\,\alpha\beta\gamma\,をくくり出すと,\ 基本対称式のみで表される. \\[1zh] \phantom{(2)}\ \ (2)と同様に,\ \bm{次数下げ}するのも有効である(別解). \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ \bm{\alpha^3=2\alpha-4\,の両辺を\,\alpha\,倍すると,\ 4次を2次に下げる式ができる.} \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 高次になるほど直接的に基本対称式のみで表すことが難しくなるため,\ 次数下げが優位になる. \\[1zh] (4)\ \ 本解のように普通に展開しても求まるが,\ 別解を習得してほしい. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ \bm{求値式が(k-\alpha)(k-\beta)(k-\gamma)\ のような形の場合,\ 因数分解形の利用が速い.} \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \  (1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)=\{-\,(\alpha-1)\}\{-\,(\beta-1)\}\{-\,(\gamma-1)\}=-\,(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1) \\[1zh] (5)\ \ 展開してしまうと非常に面倒なことになる.\ \bm{対称性を生かしたうまい解法}を習得してほしい. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 本問の場合は\,\alpha+\beta+\gamma=0\,であるから,\ 特に簡潔に求められる. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 仮に\,\alpha+\beta+\gamma=1\,とすると(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)=(1-\gamma)(1-\alpha)(1-\beta)\,より,\ (4)に帰着. \\\\[1zh] なお,\ 本問の3次方程式は容易に3解が求まるから,\ 最悪これを代入して値を求めることもできる. \\[.2zh]  因数定理より\ \ x^3-2x+4=(x+2)(x^2-2x+2)=0   よって x=-\,2,\ 1\pm i \\[1zh] また,\ 整数解x=-\,2のみを\,\alpha=-\,2として代入し,\ 2変数\,\beta,\ \gamma\,の対称式として扱うこともできる. \\[.2zh] \beta,\ \gamma\,はx^2-2x+2=0の2解であるから,\ 解と係数の関係より \beta+\gamma=2,\ \ \beta\gamma=2 \\[.2zh] よって,\ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(-\,2)^2+(\beta+\gamma)^2-2\beta\gamma=4+2^2-2\cdot2=4\ とできる. \\[1zh] 解を求める問題でない限り容易に解を求められる保証はないので,\ これらは標準解法にはなりえない.
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