2次方程式の解と係数の関係(2解の対称式・交代式の値)

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2次方程式$ax^2+bx+c=0$の2つの解を$\alpha,\ \beta$とする.  これを2次方程式の\textbf{\textcolor{blue}{解と係数の関係}}という. \\[.2zh]  \textbf{\textcolor{red}{2つの解の和と積ならば,\ 係数を見ただけで瞬時にわかる}}ということである. \\\\  解と係数の関係は以下のように導くこともでき,\ 実はこちらの方が重要である. \\[1zh]  2次方程式$\ ax^2+bx+c=0の両辺をa\ (\neqq0)で割ると$ $x^2+\bunsuu bax+\bunsuu ca=0$ \\[.5zh]  $\alpha,\ \beta$を解にもつ2次方程式($x^2$の係数1)は 両辺の係数を比較}すると  条件「2次方程式$ax^2+bx+c=0$が2解$\alpha,\ \beta$をもつ」に対し,\ 3つの対応が重要である. \\[1zh]   [1]\ \ \textbf{\textcolor{blue}{解と係数の関係}}\ $\bm{\textcolor{red}{\alpha+\beta=-\bunsuu ba,\ \ \alpha\beta=\bunsuu ca}}$\ が成り立つ. \\[1zh]   [2]\ \ $\bm{\textcolor{red}{ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)}}$とおける. \\[1zh]   [3]\ \ $\bm{\textcolor{red}{a\alpha^2+b\alpha+c=0,\ \ a\beta^2+b\beta+c=0}}$が成り立つ. $2次方程式2x^2-8x+5=0の2解を\ \alpha,\ \beta\ とする.\ 次の式の値を求めよ.$ 解と係数の関係(複合同順) 文字を入れ替えても変わらない式を\bm{対称式}という. \\[.2zh] 2変数\,\alpha,\ \beta\,の対称式は,\ 必ず\bm{基本対称式\,\alpha+\beta,\ \alpha\beta\,のみの式で表せる}のであった. \\[.2zh] 解と係数の関係\,\alpha+\beta=-\bunsuu ba,\ \alpha\beta=\bunsuu ca\,は,\ この基本対称式の値を求める公式といえる. \\[.8zh] よって,\ \alpha,\ \beta\,の対称式の値を求めるには,\ 解と係数の関係の利用がうってつけである. \\[.2zh] つまり,\ あらかじめ解と係数の関係で和と積を求めておき,\ 基本対称式で表した後に代入する. \\[1zh] (1)\ \ 2乗の和を基本対称式のみで表す変形は数\text Iで学習済みである. \\[1zh] (2)\ \ 分数の和はとりあえず通分する.\ 3乗の和の変形も数\text Iで学習済みである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2乗の和の値が既知ならば,\ 因数分解するのがよい(別解). \\[1zh] (3)\ \ \alpha-\beta=-\,(\beta-\alpha)\,のように,\ 文字を入れ替えると正負が逆になる式を\bm{交代式}という. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 交代式は,\ \bm{2乗すると対称式}となるので,\ 一旦2乗を計算する. \\[1zh] (4)\ \ \alpha^3-\beta^3\,は,\ \alpha^3+\beta^3\,と同様にして\,\alpha-\beta\,と\,\alpha\beta\,で表せるが,\ 認知度は低い. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 因数分解が一般的である(別解).\ なお,\ \bm{交代式は差\,\alpha-\beta\,をくくり出すと残りは対称式}となる. \phantom{ (1)}\ \ 両辺に$\alpha^3,\ \beta^3$を掛けると $2\alpha^5-8\alpha^4+5\alpha^3=0, 2\beta^5-8\beta^4+5\beta^3=0$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 2式の両辺を足すと (5)\ \ \alpha^4+\beta^4=(\alpha^2)^2+(\beta^2)^2\,と考えて変形する.\ なお,\ \alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2\,である. \\[1zh] (6)\ \ 3乗の和と2乗の和を組み合わせ,\ 余分にできる\,\alpha^3\beta^2+\alpha^2\beta^3\,を引けばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \alpha^3+\beta^3\,の値は,\ (2)の途中で求まっている. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 式が高次になったり複雑になったりすると,\ 基本対称式で表すのが難しくなる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ そもそも対称式・交代式ではない場合も含め,\ \bm{次数下げの考え方が有効}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{方程式があれば,\ 高次式の次数を必ず方程式の次数よりも低くできる}のであった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \alpha\,が解ならば,\ 2\alpha^2-8\alpha+5=0,\ つまり\,\alpha^2=4\alpha-\bunsuu52\,が成り立つ. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 2次式を1次式にできるので,\ 繰り返し適用すると高次式であっても最終的には1次式になる.,などと求められる. \\\\ \phantom{(1)}\ \ 以上が次数下げの基本原理だが,\ 5次にもなると1次まで次数を下げるのは中々に面倒である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \alpha^n+\beta^n\,の値を求める場合,\ 別解のように処理すると簡潔に済む. \phantom{(1)}\ \ このような解法の背景には\bm{漸化式}(数\text B:数列)の考え方があり,\ 一般化すると以下となる. (7)\ \ 今後の応用を考えると別解が重要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)}とおけることを利用する. \\ (8)\ \ 基本対称式\,\alpha+\beta,\ \alpha\beta\,で表すのは面倒である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そこで,\ \bm{文字を置換し,\ \gamma\,と\,\delta\,の対称式}として扱う. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 基本対称式\,\gamma+\delta,\ \gamma\delta\,の値を求めた後,\ \gamma^4+\delta^4\,の値を求めればよい.
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