2数の和と積から2次方程式の作成(解の変換)

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5と-2を解にもつ2次方程式を1つ作成せよ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ \Cnum{2}+{3}$を解にもつ実数係数の2次方程式を1つ作成せよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}$(3)\ \ 和が-2,\ 積が4となる2数を求めよ.$ \\ {2数の和と積から2次方程式の作成}$}}}} \\\\[.5zh]  2数$\alpha,\ \beta$を解にもつ2次方程式の\underline{1つ}は $(x-\alpha)(x-\beta)=0$ \\[.2zh]  展開すると $\textcolor{red}{x^2-(\alpha+\beta)+\alpha\beta=0}$ \\[1zh]  つまり,\ \textbf{\textcolor{red}{和$\bm{\alpha+\beta}$と積$\bm{\alpha\beta}$}}を用いて,\ 2数$\alpha,\ \beta$を解にもつ2次方程式を作成できる. x^2-(和)x+(積)=0}  (2)\ \ \textcolor{cyan}{実数係数の2次方程式が$\Cnum{2}+{3}$を解にもつとき,\ $\Cnum{2}-{3}$も解にもつ. (1)\ \ x^2+3x-10=0ではない!\bm{符号に注意}する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 当然,\ 2x^2-6x-20=0や\,\bunsuu12x^2-\bunsuu32x-5=0など,\ 答えは無限に存在する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ \bm{係数が最も簡単な整数となるものを答える}のが普通である. \\[1zh] (2)\ \ \bm{\underline{実数係数}\,の2次方程式が虚数解をもつとき,\ 必ずその共役な複素数も解にもつ}のであった. \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \ 一般的な証明を別項で示すが,\ この事実は無断使用できる. \\[1zh] (3)\ \ \bm{和と積が与えられた場合の2数は2次方程式を作成して求める}のが基本である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ もちろん,\ \alpha+\beta=-\,2,\ \alpha\beta=4\,を連立して求めることも可能である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  \beta=-\,2-\alpha\,より \alpha(-\,2-\alpha)=4    よって \alpha^2+2\alpha+4=0 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このように,\ 結局は本解と同じ方程式を解くことになるが,\ 対称性が崩れて回りくどくなる. x^2-2x+7=0$の2つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき,\ 次の2数を解にもつ2次方程式を   解と係数の関係より\ (1)\ \ \alpha+\beta\,と\,\alpha\beta\,を解にもつ2次方程式を作成するのである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ その\bm{和\,(\alpha+\beta)+\alpha\beta\,と積\,(\alpha+\beta)\alpha\beta}\,を求めればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \alpha+\beta\,と\,\alpha\beta\,の値は解と係数の関係を用いて求められる. \\[1zh] (3)\ \ 別解は\bm{「解の変換」}という考え方を用いたものである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 元の解\,\alpha,\ \beta\,に対し同じ変換操作(本問は逆数をとる)をしたものを解にもつ方程式を作成できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実際には,\ 新たな解を一旦文字でおき,\ \alpha,\ \beta\,について解く. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \alpha,\ \beta\,はx^2-2x+7=0の解なのであるから,\ 当然代入すると成り立つ. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 7A^2-2A+1=0,\ 7B^2-2B+1=0は,\ 7x^2-2x+1=0にA,\ Bを代入した形である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これは,\ 7x^2-2x+1=0がA,\ Bを解にもつ2次方程式であることを意味している.
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