対称式の連立方程式 対称性を崩さずに求めよ!

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次の連立方程式を解け.$ x+y=5 \\[.2zh] x^2-xy+y^2=7 x+xy+y=-\,5 \\[.2zh] x^2+y^2=10 対称式の連立方程式}2式がいずれも対称式}}の連立方程式は,\ 以下の手順で{対称性を崩さずに求める}}と簡潔に済む. \\[1zh]   $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{red}{基本対称式$\bm{x+y,\ xy}$の値}}を求める. \\[.5zh]   $[2]$\ \ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{x,\ y}$を解にもつ2次方程式を作成する. 対称式の基本変形\ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\ により,\ 基本対称式x+yとxyのみで表す. \\[.2zh] x+y=p,\ xy=qとおくと,\ p=5とp^2-3q=7の連立方程式に帰着したことになる. \\[1zh] \bm{基本対称式をなす2数は,\ 2次方程式を作成して求める}のが基本なのであった. \\[.2zh] 2数x,\ yを解にもつ2次方程式の1つは (t-x)(t-y)=0 \\[.2zh] つまり \bm{t^2-(x+y)t+xy=0} \\[1zh] 問題に対称性があるから,\ 当然\bm{解にも対称性が表れる}ことも確認してほしい. \\[1zh] もちろん,\ y=-\,x+5をx^2-xy+y^2=7に代入する解法も可能である. \\[.2zh] しかし,\ (2)のような場合には,\ 1文字消去法が難しくなる. 1文字消去しようとすると式がかなり複雑になってしまう. \\[.2zh] 2式がいずれも対称式であることに着目し,\ 対称性を崩さずに求める. \\[.2zh] 本問では,\ わかりやすさのため,\ x+y,\ xyを一旦文字でおいた. \\[.2zh] (p,\ q)が2組求まるから,\ それぞれに対応する2次方程式を作成してx,\ yを求めればよい.連立方程式\ \begin{cases} x+y+z=\textcolor{cyan}{3} \\ xy+yz+zx=\textcolor{magenta}{3} \\ xyz=\textcolor{forestgreen}{1} {x,\ y,\ zは,\ t^3-\textcolor{cyan}{3}t^2+\textcolor{magenta}{3}t-\textcolor{forestgreen}{1}=0\ の3つの解}}}である.$ \\[.5zh]   $よって (t-1)^3=0\ より  \textcolor{red}{t=1}\ \ (3重解)${x=y=z=1}$ 対称性を崩さずに求める方法は,\ 変数が増えるとより重要性を増す. \\[.2zh] \bm{x+y+z,\ xy+yz+zx,\ xyzは3変数の基本対称式}であった. \\[.2zh] 基本対称式をなす3数は,\ 3次方程式を作成して求めることができる. \\[.2zh] 3数x,\ y,\ zを3解にもつ3次方程式の1つは (t-x)(t-y)(t-z)=0 \\[.2zh] つまり \bm{t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=0} \\[.2zh] 3次方程式の詳しい学習は後になるので,\ ここでは最も簡潔なものを示した.
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