実数係数方程式が共役複素数解をもつことの証明

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実数係数のn次方程式\ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0\ がある.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$この方程式が虚数解\ \alpha\ を解にもつとき,\ その共役複素数\ \kyouyaku\alpha\ も解にもつことを示せ.$ \\ {実数係数方程式が共役複素数解をもつことの証明}$}}}} \\\\[.5zh]  実数係数の2次方程式は,\ 解の公式より明らかに$\Cnum{a}\pm{b}\ (b\neqq0)$をペアで解にもつ. \\[.2zh]  3次以上の方程式の場合も同様であることを証明する. \\[1zh]  事実としては何となく知っていても,\ 証明を知らないという学生が多い. \\[.2zh]  非常にスマートな証明があるので,\ 習得しておいてほしい. \\\\[1zh]  共役複素数に関する以下の性質を利用する. \\[1zh]  両辺の共役複素数をとると 共役複素数に関する性質[1],\ [2],\ [3]は覚えておく. \\[.2zh] 要は,\ \bm{上のバーはどんどん分割してもかまわない}ということである. \\[1zh] さて,\ x=\alpha\ を解にもつということは,\ x=\alpha\,を代入して成り立つということである. \\[.2zh] x=\alpha\,を代入した式に対し,\ \bm{両辺の共役複素数をとる.} \\[.2zh] \bm{[1],\ [2]\,よりバーを分割でき,\ [3]より実数係数a_n,\ \cdots,\ a_0\,のバーは取り払える.} \\[.2zh] ここで「実数係数」という条件が効いてくることに注意してほしい. \\[.2zh] つまり,\ x=\kyouyaku\alpha\ は方程式\maru1の解であるといえる. \\[1zh] この定理は,\ 通常の問題の中では無断使用してもかまわない. \\[.2zh]  \bm{\textcolor{blue}{「\underline{実数係数}のn次方程式が虚数解\Cnum{a}+{b}をもつとき,\ 共役複素数\Cnum{a}-{b}も解にもつ」}} \\[.4zh] ただし,\ 使用の際に\bm{「実数係数なので」の一言は必須}である. \\[1zh] n次方程式は,\ 複素数の範囲では必ずn個の解をもつのであった. \\[.2zh] よって,\ \bm{実数係数の奇数次の方程式が少なくとも1個の実数解をもつ}こともわかる. \\[.2zh] 3次方程式ならば3個の解をもつから,\ ペアが作れない少なくとも1個は実数解である. \\[1zh] また,\ 以下の類似の定理も有名である(無断使用可能).\ \ \underline{a,\ bを有理数,\ \ruizyoukon k\,を無理数}とする. \\[.4zh]  \bm{\textcolor{blue}{「\underline{有理数係数}のn次方程式が無理数解a+b\ruizyoukon k\,をもつとき,\ 共役無理数a-b\ruizyoukon k\,も解にもつ」}} \\[.4zh] \alpha=a+b\ruizyoukon k\,の共役無理数を\,\kyouyaku\alpha=a-b\ruizyoukon k\,とおけば,\ 証明は全く同じである. \\[.4zh] a_n,\ \cdots,\ a_0\,が有理数係数ならば,\ \kyouyaku{a_n}=a_n,\ \cdots,\ \kyouyaku{a_0}=a_0\,が成り立つからである.
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