高次方程式の解法:最高次の項の係数と定数項に着目せよ!

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因数定理を用いて高次方程式解くとき、何を代入すべきかという目安を知っていないと思わぬ時間を取られる可能性がある。原理も含めておさえておきたい。

有理数解が (定数項の約数)/(最高次の項の係数の約数) となることの証明は整数分野の重要パターン問題である(やや難)。

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因数定理を利用して因数分解し,\ 低次の方程式に帰着させる. ${P(x)が(ax-b)を因数にもつ}\を見つけ出せば因数分解できる.}$ P(x)は\ 3x-5\ を因数にもつ.$ よって,\ 3x-5\ を因数にもつとわかるから,\ 後は他の因数を求めればよい. P(x)を3x-5で割る(筆算の割り算をする)のが基本である. 習得済みであれば,\ 組立除法の利用が手っ取り早い. 計算が得意な人には,\ 次の方法を強く推奨したい. P(x)は3次式であることを考慮すると,\ 次のように因数分解できるはずである. {9x³-18x²+2x+5=(3x-5)(ax²+bx+c)} ここで,\ a,\ b,\ cは整数である(分数でも分母を払って整数にできる). この等式が成立するように,\ a,\ b,\ cを定めてやればよい. まず,\ {左辺のx³の係数9と定数項5に着目}する. 右辺もこれと一致しなければならないから,\ a=3,\ c=-1が決定する. つまり,\ (3x-5)(3x²+bx-1)\ となる. 後は,\ {x²またはxの項を比較することでbを決定}すればよい. 右辺のx²の項は,\ -15x²+3bx²で,\ これが左辺の-18x²と一致するはずである. よって -15+3b=-18 より b=-1    (3x-5)(3x²-x-1) これらを暗算で行うことに慣れれば,\ 10秒かからずに因数分解できる.  上の問題は一見簡単に見えるが,\ 実際にやってみると解けない人が多い.  $x=53$を代入することに気付けないからである.  気付くには,\ 代入すべき${x}$の目安を知っておかなければならない.  \ を解にもつとしよう. と因数分解できるはずである.  これを展開すると  展開後の式の$x³の係数と定数項にaとbの名残があることがわかる.$  つまり,\ 方程式の最高次の項の係数と定数項に着目すると,\ ${aとb}$がわかる.  $aがc倍されて,\ x³の係数acになる.$  逆に考えれば,\ ${x³の係数の約数の中にaがあるはずである.$  同様に,\ 定数項の約数の中に${bがあるはずである.$  以上を考慮すると,\ ${代入すべきxが次に限られる$ことがわかる. 定数項の約数{最高次の項の係数の約数}$  本問の場合 $x={5の約数{9の約数={1,\ 5{1,\ 3,\ 9$ が代入候補だったのである.$  もし,\ 0になるものがない場合,\ 有理数係数の範囲では因数分解できない.  つまり,\ 有理数解が存在しないとわかる.
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