様々な高次方程式の解法(因数定理の利用)

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有理数解が (定数項の約数)/(最高次の項の係数の約数) に限られることの証明は整数分野の重要パターン問題である(やや難)。

次の方程式を解け. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $2x^3-x^2-10x+8=0$       (2)\ \ $9x^3-18x^2+8x-5=0${高次方程式}$}}} \\\\[.5zh]  3次以上の方程式は,\{因数分解して2次以下の方程式に帰着させる}}と解ける. \\[.2zh]  よって,\ 実質的には因数分解の問題である. \\[.2zh]  3次以上の式の因数分解のいくつかのパターンについては,\ 数Iで既に学習済みである. \\[.2zh]  本項では,\ 新たに因数定理を利用する因数分解}}を学習する. \\[.2zh]  この解法は,\ 既に学習済みの方法が通用しない場合に必要になる.因数定理}}  $\bm{\textcolor{cyan}{整式P(x)が(ax-b)を因数にもつ}  因数定理により,\ P(x)=0\ となるxの値を何とかして見つけると因数分解できる.}}$ \\\\\\  (1)\ \ $P(x)=2x^3-x^2-10x+8$とおくと,\ $\textcolor{red}{P(2)=0}$より,\ $P(x)$は$x-2$を因数にもつ. \ とにかくP(x)=0となるものを探す必要がある.\ とりあえず\bm{簡単な整数から順に代入してみる.} \\[.2zh] x=1,\ -\,1,\ 2と順に代入してみると,\ P(2)=0であることがわかる. \\[.2zh] もしP(2)の計算を間違えると,\ =0に気付けずに-2,\ 3,\ -\,3と代入し続ける羽目になる. \\[.2zh] 早く見つけようとして気が焦るのか,\ この部分の\bm{計算ミスが驚くほど多い}ので要注意である. \\[1zh] x-2を因数にもつことがわかれば,\ 後は残りの因数の求めればよい.\ 方法は主に3つある. \\[.2zh] 最も単純なのは,\ 普通に筆算でP(x)\div(x-2)をすることであるが,\ 面倒なので非推奨である. \\[.2zh] 1次式で割ったときの商を求めるのであるから,\ \bm{組立除法の出番}である. \\[.2zh] \bm{余りは必ず0になる}ことにも注意して計算すると,\ ミスをする可能性も限りなく低い. \\[1zh] 中級者以上には以下の方法を強く推奨する.\ P(x)が3次式の場合には特に有効である. \\[.2zh] P(x)が3次式で1次式x-2で割るから,\ 次のように因数分解できるはずである. \\[.2zh]  \bm{2x^3-x^2-10x+8=(x-2)(ax^2+bx+c)} \\[.2zh] 割られる式P(x)も割る式x-2も整数係数であるから,\ a,\ b,\ cは整数である. \\[.2zh] この等式が成立するようにa,\ b,\ cを定めればよい.\ このとき,\ 展開して係数比較をする必要はない. \\[.2zh] まず,\ \bm{左辺のx^3\,の係数2と定数項8に着目}する. \\[.2zh] 右辺のx^3\,の項はx\cdot ax^2=ax^3,\ 右辺の定数項は-2cである. \\[.2zh] 両辺が一致しなければならないから,\ a=2,\ c=-\,4が決定する. \\[.2zh] つまり,\ (x-2)(2x^2+bx-4)\ となる. \\[.2zh] 後は,\ \bm{両辺のx^2\,またはxの項を比較することでbを決定}すればよい. \\[.2zh] 右辺のx^2\,の項は-2\cdot2x^2+x\cdot bx=-\,4x^2+bx^2\,で,\ これが左辺の-x^2と一致しなければならない. \\[.2zh] よって -4+b=-\,1\ より b=3   \therefore (x-2)(2x^2+3x-4) \\[.2zh] 手順を丁寧に説明すると面倒そうに感じるが,\ 一旦慣れてしまえば10秒ほどで因数分解できる. \\[1zh] 因数分解さえできれば,\ 後は2x^2+3x-4=0を解くだけである. 本問は単に因数定理を知っているだけでは解くことを許されない. \\[.2zh] x=\bunsuu53\,を代入するとP(x)=0になることに気付けないからである. \\[1.5zh] 実は,\ \bm{代入すべきxの値には目安がある.}\ 知らないと,\ (1)はたまたま解けても(2)では行き詰まる. \\[.2zh] 目安と理由については以下で説明する. \\[1zh] 因数分解の問題では,\ 普通\left(x(9x^2-3x+3)=(3x-5)(3x^2-x+1)と変形しておく.\\[.8zh] 本問では,\ 単に9x^2-3x+3=0,\ つまり3x^2-x+1=0として解を求めればよいだけである. \\[1zh] なお,\ 因数分解する場合,\ 特に断りがなければ有理数係数の範囲で行うのであった. \\[.2zh] 方程式の解を求める場合,\ \bm{特に断りが無い限り複素数の範囲で答える}(虚数解も求める).代入すべき$\bm{x}$の値の目安}}について解説する. \\\\   方程式$P(x)=0$が$   展開後の式の$x^3\,の係数と定数項にそれぞれaとbの名残があることがわかる.$ \\[.2zh]   つまり,\ \textbf{\textcolor{red}{方程式の最高次の項の係数と定数項に着目すると,\ $\bm{aとb}$がわかる.}} \\[.5zh]   $aがc倍されて,\ x^3\,の係数acになる.\ また,\ -\,bがe倍されて定数項-beになる.$ \\[.2zh]   逆に考えると,\ $\bm{\textcolor{cyan}{x^3\,の係数の約数の中にaがある}}はずである.$ \\[.2zh]   同様に,\ \textbf{\textcolor{magenta}{定数項の約数の中に}}$\bm{\textcolor{magenta}{bがある}}はずである.$ \\\\   以上を考慮すると,\ $\bm{\textcolor{red}{代入すべきxの値が次に限られる}}$ことがわかる. \\[1zh]{定数項の約数}}{\textcolor{cyan}{最高次の項の係数の約数}}}$\ }} \\\\\\   (1)の場合 $x=\pm\bunsuu{\textcolor{magenta}{8の約数}}{\textcolor{cyan}{2の約数}   (2)の場合 $x=\pm\bunsuu{\textcolor{magenta}{5の約数}}{\textcolor{cyan}{9の約数}}  $P(x)=0$となる有理数$x$が存在するならば,\ その値はこれらに限られるのである. \\[.2zh]  よって,\ これら以外の値を代入するのは時間の無駄である. \\[.2zh]  この中に$P(x)=0$となる$x$がない場合,\ $P(x)$は有理数係数の範囲では因数分解できない. \\[.2zh]  つまり,\ 有理数解は存在しない.  様々な高次方程式の問題を演習する.\ いずれも既に学習した知識で解くことができる. (1)\ \ 一見してx=3が解であるとわかるが,\ それだけで終えてはならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一般に,\ \bm{n次方程式はn個の複素数解をもつ}(n重解はn個と数える). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 3次方程式なので,\ 3個あるはずの複素数解をすべて求めなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^3-27=0とすると,\ 公式\bm{x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)}を適用できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このように,\ 因数分解公式が利用できる場合には,\ わざわざ因数定理を利用する必要はない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ なお,\ D=y^2-4y^2=-\,3y^2<0より,\ xの2次方程式x^2+yx+y^2=0は必ず虚数解になる. \\[1zh] (2)\ \ 展開公式\bm{(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-3y^3}\,の逆に気付けば速い. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{共通因数ができるように組み合わせる}方法でも因数分解できるし,\ 最悪因数定理を利用できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \scalebox{.95}[1]{\text{$x^3-8-6x^2+12x=(x-2)(x^2+2x+4)-6x(x-2)=(x-2)(x^2-4x+4)=(x-2)(x-2)^2$}} \\[1zh] (3)\ \ \bm{複2次式}(2乗の2次式)は,\ \bm{x^2=X}とみて因数分解するのであった.\ \,X^2-X-6=0となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ x^2=3,\ -\,2を解けばよい. \\[1zh] (4)\ \ 置換しても因数分解できない場合,\ 無理矢理\bm{(x^2\pm○)^2-(□x)^2}\,の形を作るのであった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 4乗の項x^4\,と定数項1に着目し,\ これが出てくるような2乗の形を考えると (x^2\pm1)^2 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ -\,x^2\,となるようにつじつまを合わせると (x^2+1)^2-3x^2\ または\ (x^2-1)^2+x^2 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (x^2+1)^2-3x^2=(x^2+1+\ruizyoukon3x)(x^2+1-\ruizyoukon3x) \\[1zh] (5)\ \ \bm{2段階で因数定理を利用する}ことにより,\ 2次方程式に帰着する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2段階ともx=\pm\bunsuu{1,\ 2,\ 4,\ 8}{1}=\pm\,1,\ \pm\,2,\ \pm\,4,\ \pm\,8\ が代入候補である. \\\\ (6)\ \ \bm{問題を一見してx=2を解にもつ}ことに気付きたい(x=2のとき明らかに両辺一致). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 因数定理を利用するとき,\ 代入して=0になるものを探す手間が省ける. \\[1zh] (7)\ \ 無闇に展開してしまうと,\ 因数定理をもってしても因数分解できなくなる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{共通部分ができるように,\ (x-1)(x-4),\ (x-2)(x-3)の組み合わせで展開する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^2-5x=Xと考えて整理・因数分解すればよい.  (X+4)(X+6)=15
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