2乗・3乗して虚数になる複素数

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z^2=\Cnum{5}-{12}$となる複素数$z$をすべて求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $z^3=-\,8i$となる複素数$z$をすべて求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $z^3=\Cnum{2}-{11}$となる複素数$z$をすべて求めよ.\ ただし,\ $z$の実部と虚部は整数とする.2乗・3乗して虚数になる複素数}$}}}} \bm{z=\Cnum{x}+{y}とおいて整理し,\ 複素数の相等条件を利用する}だけである. \\[.2zh]  \bm{\Cnum{a}+{b}=\Cnum{c}+{d}\ \Longleftrightarrow\ a=c\ かつ\ b=d} (a,\ b,\ c,\ d:実数) \\[.2zh] 複素数の相等条件を利用するときは,\ 前提条件の確認(下線部)が必須なのであった. \\[1zh] さて,\ \bm{複素数の平方根は\ruizyoukon{ }を用いて表すことはしない}ので,\ z=\pm\ruizyoukon{\Cnum{5}-{12}}\,と答えてはならない. \\[.2zh] 元々,\ 正数aの2つある平方根のうち正の方を\ruizyoukon a\,と表すのであった. \\[.2zh] しかし,\ 虚数には正も負もないので,\ 実数と同様に\ruizyoukon{ }を考えることはできない. \\[1zh] また,\ 本問のようにして,\ \bm{複素数の平方根は必ず\Cnum{a}+{b}の形で表すことができる.} \\[.2zh] \ruizyoukon2\,のように表すしかない実数とは違い,\ 複素数の平方根はあえて根号で表す必要がないのである. \\[1zh] z=\Cnum{c}+{d}\,の平方根が必ず\Cnum{a}+{b}の形で表せることを確認する. \\[.2zh] つまり,\ (\Cnum{a}+{b})^2=\Cnum{c}+{d}を満たす実数a,\ bが常に存在することを確認しておく. \\[.2zh] 本問と同様に,\ a^2-b^2=c,\ 2ab=dを解くことになる. \\[.2zh] d=0のときzは実数なので,\ zが虚数になるd\neqq0のときを考える. \\[.2zh] d\neqq0のとき,\ 2ab=dよりa\neqq0であるからb=\bunsuu{d}{2a}とできる. \\[.8zh] これをa^2-b^2=cに代入して整理すると 4a^4-4ca^2-d^2=0 \\[.2zh] a^2=tとするとt>0であり,\ 4t^2-4ct-d^2=0となる. \\[.2zh] よって,\ このtの2次方程式が正の解をもてば,\ 実数aが存在することになる. \\[.2zh] f(t)=4t^2-4ct-d^2\,は下に凸の2次関数で,\ f(0)=-\,d^2<0である. \\[.2zh] ゆえに,\ f(t)=0は必ず正の解をもつ.\ \ b=\bunsuu{d}{2a}\,よりbも求まるから,\ 実数a,\ bが常に存在する. 公式\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\[.2zh] (1)と同様に複素数の相等条件を利用すると,\ x,\ yの3次の連立方程式となる. \\[.2zh] 一般にはそう簡単に解けないが,\ 本問の場合は=0の\maru1を先に同値変形すると解ける. \\[.2zh] 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の複素数平面を学習すると,\ 実部が0でない場合やz^4\,のような場合も求められるようになる. ,\ y:\textcolor{red}{整数})$とおくと $z^3=(\Cnum{x}+{y})^3=\Cnum{(x^3-3xy^2)}+{(3x^2y-y^3)}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $z^3=\Cnum{2}-{11}$であるから $\textcolor{cyan}{\Cnum{(x^3-3xy^2)}+{(3x^2y-y^3)}=\Cnum{2}-{11}}${$x,\ yは実数であるから,\ x^3-3xy^2,\ 3x^2y-y^3\,も実数である.$}}} \phantom{ (1)}\ \ \maru1より\ \ $\textcolor{forestgreen}{x(x^2-3y^2)=2}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{red}{$x$と$x^2-3y^2$は整数}なので  \phantom{ (1)}\ \ これらの中で\maru2も満たすのは$(x,\ y)=(2,\ -\,1)$のみである. \\\\ \centerline{$\therefore\ \ \bm{z=2-i}$} \\\\[.5zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} x,\ yが整数という条件が加われば,\ =0でなくとも連立方程式を解くことが可能になる. \\[.2zh] 要は整数問題である.\ \bm{一方を因数分解してすべての組合せをしらみつぶしすればよい}のであった.
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