2乗・3乗して虚数になる複素数

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z^2=\Cnum{5}-{12}$となる複素数$z$をすべて求めよ. (2)\ \ $z^3=-\,8i$となる複素数$z$をすべて求めよ. (3)\ \ $z^3=\Cnum{2}-{11}$となる複素数$z$をすべて求めよ.\ ただし,\ $z$の実部と虚部は整数とする.2乗・3乗して虚数になる複素数}$ z=\Cnum{x}+{y}とおいて整理し,\ 複素数の相等条件を利用する}だけである.  \Cnum{a}+{b}=\Cnum{c}+{d}\ ⇔\ a=c\ かつ\ b=d} (a,\ b,\ c,\ d:実数) 複素数の相等条件を利用するときは,\ 前提条件の確認(下線部)が必須なのであった. さて,\ 複素数の平方根は√{ }を用いて表すことはしない}ので,\ z=±√{\Cnum{5}-{12\,と答えてはならない. 元々,\ 正数aの2つある平方根のうち正の方を√ a\,と表すのであった. しかし,\ 虚数には正も負もないので,\ 実数と同様に√{ }を考えることはできない. また,\ 本問のようにして,\ 複素数の平方根は必ず\Cnum{a}+{b}の形で表すことができる.} √2\,のように表すしかない実数とは違い,\ 複素数の平方根はあえて根号で表す必要がないのである. z=\Cnum{c}+{d}\,の平方根が必ず\Cnum{a}+{b}の形で表せることを確認する. つまり,\ (\Cnum{a}+{b})^2=\Cnum{c}+{d}を満たす実数a,\ bが常に存在することを確認しておく. 本問と同様に,\ a^2-b^2=c,\ 2ab=dを解くことになる. d=0のときzは実数なので,\ zが虚数になるd≠0のときを考える. d≠0のとき,\ 2ab=dよりa≠0であるからb=d}{2a}とできる. これをa^2-b^2=cに代入して整理すると 4a^4-4ca^2-d^2=0 a^2=tとするとt>0であり,\ 4t^2-4ct-d^2=0となる. よって,\ このtの2次方程式が正の解をもてば,\ 実数aが存在することになる. f(t)=4t^2-4ct-d^2\,は下に凸の2次関数で,\ f(0)=-\,d^2<0である. ゆえに,\ f(t)=0は必ず正の解をもつ.\ \ b=d}{2a}\,よりbも求まるから,\ 実数a,\ bが常に存在する. 公式\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (1)と同様に複素数の相等条件を利用すると,\ x,\ yの3次の連立方程式となる. 一般にはそう簡単に解けないが,\ 本問の場合は=0の①を先に同値変形すると解ける. 数III}の複素数平面を学習すると,\ 実部が0でない場合やz^4\,のような場合も求められるようになる. ,\ y:整数})$とおくと $z^3=(\Cnum{x}+{y})^3=\Cnum{(x^3-3xy^2)}+{(3x^2y-y^3)}$ $z^3=\Cnum{2}-{11}$であるから $\Cnum{(x^3-3xy^2)}+{(3x^2y-y^3)}=\Cnum{2}-{11${$x,\ yは実数であるから,\ x^3-3xy^2,\ 3x^2y-y^3\,も実数である.$ ①より\ \ $x(x^2-3y^2)=2}$ $x$と$x^2-3y^2$は整数}なので  これらの中で②も満たすのは$(x,\ y)=(2,\ -\,1)$のみである. ∴\ \ z=2-i}$} \\ $\left[l} x,\ yが整数という条件が加われば,\ =0でなくとも連立方程式を解くことが可能になる. 要は整数問題である.\ 一方を因数分解してすべての組合せをしらみつぶしすればよい}のであった.